Matematické Fórum

Keeeeke · 13. 05. 2013 12:18

Ahoj,
mám zajímavý středoškolský příklad :-).

je dán čtverec ABCD se stranou délky 2a. Středy hran AB, BC, CD, DA jsou postupně K,L,M,N. Střed čtverce je S. Uvažujme ve stejné polorovině pravidelné čtyřboké jehlany AKSNT, KBLSU, LCMSV, MDNSW, jejichž všechny hrany jsou a. Doplňte toto těleso nejmenším tělesem tak, aby nové těleso bylo konvexní. Jaký je objem doplňujícího tělesa?

Obrázek:

Podle mě musím doplnit 4 shodné pravidelné čtyřstěny (KUST, SLVU, NSWT, MSVW) a pravidelný čtyřboký jehlan TUVWS.

Objem tělesa:
$V=4\cdot V_{ctyrsten}+V_{jehlan}$
$V=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3+\frac{\frac{\sqrt{2}}2{a^3}}{3}$
$V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

Je to správná úvaha?
Díky

Keeeeke · 24. 05. 2013 10:37

↑ Keeeeke:
Nikdo neví?

Rumburak

↑ Keeeeke:
Ano, to doplnění máš vyřešeno správně.
Objemy jsem nepřepočítával. Dalo by se řešit i tak, že od objemu komolého jehlanu s podstavami ABCD, TUVW odečteme
čtyřnásobek objemu jehlanu AKSNT. "Celé" jehlany s podstavami ABCD, AKSN, TUVW jsou ve vztahu podobnosti, čehož
se dá využít při výpočtech jejich objemů.

Honzc · 24. 05. 2013 13:56

↑ Keeeeke:
Všechno dobře, až na sčítání.
$V=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3+\frac{\frac{\sqrt{2}}2{a^3}}{3}$
$V=2 \frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{6} +\frac{\sqrt{2}\cdot {a^3}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2013 12:18

Konvexní těleso

#2 24. 05. 2013 10:37

Re: Konvexní těleso

#3 24. 05. 2013 11:43 — Editoval Rumburak (24. 05. 2013 11:43)

Re: Konvexní těleso

#4 24. 05. 2013 13:56

Re: Konvexní těleso

Zápatí