Matematické Fórum

010010 · 21. 05. 2013 21:43

Dokazte, ze konecna pologrupa, v ktere plat zakony o kracen, je grupa.

Zákon o krátení: $ab=ac \Rightarrow b=c$
keďže vieme dokázať zákon o krátení teda : $ab=ac$
máme inverzný prvok $b=\mathrm{a}^{-1}(ac)$
asociativita $b=(\mathrm{a}^{-1}a)c$
$b=ec$
jednotkový prvok $b=c$
teda pologrupa je grupa

Môže byť ?

ďakujem

JohnPeca18 · 21. 05. 2013 22:15

Mne to skôr príde, že si dokázal, že v grupe platí zákon o krátení, teda opačnú implikáciu.
Ty by si potreboval dokázať, že pokial máš asociativitu a zákon o krátení, tak máš i inverzný prvok a jednotkový prvok. Nejak to v tom nevidím.

Hanis · 21. 05. 2013 22:16 — Editoval Hanis (21. 05. 2013 22:17)

Ahoj,
podle mne to neplatí, vem si přirozená čísla s násobením - tam krátit můžeš, ale inverze ke všemu tam není...

OiBobik · 21. 05. 2013 22:20

↑ Hanis:

Konecna pologrupa. ;)

Zkus vyuzit toho, ze proste zobrazeni konecne mnoziny do sebe sama je bijekce.

Hanis · 21. 05. 2013 22:24

↑ OiBobik:

V tom případě je to zajímavější

010010 · 21. 05. 2013 23:26

OiBobik napsal(a):
↑ Hanis:

Konecna pologrupa. ;)

Zkus vyuzit toho, ze proste zobrazeni konecne mnoziny do sebe sama je bijekce.

Ano, to je vidieť že je to bijektívne zobrazenie,teda vieme, že k injektívnemu zobrazeniu vždy existuje inverzné zobrazenie. Takže ak je zobrazenie injektívne, tak nám to dáva existenciu inverzných prvkov ?

OiBobik · 22. 05. 2013 08:09

↑ 010010:

Prvne, nez vubec clovek uvazuje o invrznich prvcich, je potreba ukazat, ze takova pologrupa obsahuje jednotku.

Brano · 24. 05. 2013 19:09 — Editoval Brano (24. 05. 2013 19:15)

Tak ako to je napisane to neplati. Ako kontrapriklad mozme zobrat konecnu mnozinu $M$ s aspon dvoma prvkami a nasobenie na nej definujeme takto $xy=y$ . Je to pologrupa, kde urcite plati lave kratenie, avsak
1) vsetky prvky su "lave neutralne"
2) neexistuje "pravy neutralny"
a teda neexistuje neutralny, cize to nemoze byt grupa.

Ale da sa to dokazat ak by sme mali aj lave aj prave kratenie. (Mozno, ze tak sa to aj myslelo, ale OP uvadza iba lave kratenie.)

hint na neutralny prvok: treba dokazat, ze existuje $x$ take, ze $x^2=x$ .

OiBobik · 25. 05. 2013 08:05

↑ Brano:

Ahoj,

Jenom poznamka: je to tak jak to pises, ovsem v zadani je napsano "ve kterem plati zakony o kraceni" - to si myslim, ze lze chapat tak, ze tam plati leve i prave kraceni.

Brano · 25. 05. 2013 09:38

↑ OiBobik:
ja som tam videl "zakon", ale je tam "zakony" - takze to bude urcite myslene tak, ze lavy aj pravy
↑ 010010:
podarilo sa niekam posunut?

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2013 21:43

Dôkaz - Algebra

#2 21. 05. 2013 22:15

Re: Dôkaz - Algebra

#3 21. 05. 2013 22:16 — Editoval Hanis (21. 05. 2013 22:17)

Re: Dôkaz - Algebra

#4 21. 05. 2013 22:20

Re: Dôkaz - Algebra

#5 21. 05. 2013 22:24

Re: Dôkaz - Algebra

#6 21. 05. 2013 23:26

Re: Dôkaz - Algebra

OiBobik napsal(a):

#7 22. 05. 2013 08:09

Re: Dôkaz - Algebra

#8 24. 05. 2013 19:09 — Editoval Brano (24. 05. 2013 19:15)

Re: Dôkaz - Algebra

#9 25. 05. 2013 08:05

Re: Dôkaz - Algebra

#10 25. 05. 2013 09:38

Re: Dôkaz - Algebra

Zápatí