Matematické Fórum

Freedy · 24. 05. 2013 19:21

Dobrý den, rád bych se zeptal o trochu podrobnější ujasnění toho, proč se v následujícím odvození umocňuje na druhou.

Když je obecná rovnice kružnice s poloměrem r:
$x^2+y^2=r^2$
Tak ypsilon z toho vyjádřené je:
$y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$
Plus v případě horní půlkružnice, mínus v případě dolní půlkružnice. Nicméně když chci z toho vypočítat integrál rotačního tělesa tak je to vlastně:
$\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx$
A proč se v následujícím kroku musí umocnit ten integrál:
$\pi \int_{-r}^{r}(\sqrt{r^2-x^2})^2dx=\pi \int_{-r}^{r}r^2-x^2dx = 2\pi \int_{0}^{r}r^2-x^2dx...$
?? Jak to mám vlastně chápat? Vždyť tu půlkružnici prostě rotuju kolem její osy o 180 stupňů tak vytvořím půlkouli. Proč se to teda umocňuje? Nebo nenabídl by mi někdo podrobnější vysvětlení? Děkuju

martisek · 24. 05. 2013 19:27

↑ Freedy:

Ahoj,

předně - půlkružnici rotuješ o 360 stupŇů, ne o 180. Objem koule zjistíš tak, že si ji rozřežeš na "nekonečně" tenké plátky (jako salám). Každá ten plátek má tvar válce s poloměrem

$\sqrt{r^2-x^2}$ a výškou dx.

Jaký je objem tohoto válce?

No a tím integrálem sečteš objemy těch válců...

Freedy · 24. 05. 2013 19:35 — Editoval Freedy (24. 05. 2013 19:39)

Takže vlastně $(\sqrt{r^2-x^2})^2*\pi *dx =$ je objem jednoho toho válce. A ten sčítáš od -r do r.?

A kam se vlastně teda podělo to 2pi o který jsme to zrotovali?