Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 25. 05. 2013 10:19

Zdravím vás,
trochu jsem se zamotal rád bych poprosil o pomoc. Uvažujme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konst. koeficienty
$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{0}$ , (1)
kde matice M je pozitivně definitní a K pozitivně semidefinitní (obě jsou řádu n). Jedná se o dobře známý problém volného netlumeného kmitání soustavy s n stupni volnosti. Řešení této soustavy představují vlastní tvary kmitu. V různých zdrojích se soustava řeší různými způsoby a já bych si v nich chtěl udělat pořádek.
Obvykle se odhadne řešení ve tvaru
$\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} e^{i\omega t}$ , (2)
po dvojí derivaci, dosazení do (1), vydělení obou stran nenulovou exponenciálou a úpravě:
$(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{M})\boldsymbol{\phi}=\mathbf{0}$ . (3)
Rovnice (3) představuje známý problém nalezení vlastních čísel a jim odpovídajících vlastních vektorů.

Nemůžu se nějak vypořádat s rovnicí (2), protože mi připadá, že na levé straně vystupuje reálný vektor posuvů v metrech, zatímco na pravé straně vektor komplexní podle vzorce
$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$ . (4)
Skutečně je možné takovou rovnost psát a komplexní část pravé strany zkrátka zahodit?

Co kdybych odhad řešení zvolil rovnou jako harmonickou funkci $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} \sin\omega t$ ? Všechny body tělesa (soustavy) by myslím měly kmitat ve fázi se stejnou frekvencí a lišit by se měly pouze amplitudy, čemuž takovýto tvar řešení odpovídá. Po derivaci $\ddot{\mathbf{u}} = -\omega^2 \boldsymbol{\phi} \sin\omega t$ a dosazení je $(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{M})\boldsymbol{\phi}\sin \omega t=\mathbf{0}$ . Přestože $\sin \omega t$ nulových hodnot nabývá, můžu argumentovat tím, že rovnice musí být splněna pro všechny t a opět získat (3), že?

Jako jediné omezení odhadu řešení ve druhém tvaru mi připadá, že počáteční podmínky musí být voleny tak, aby v čase t=0 soustava procházela rovnovážnou polohou (tj. aby posuvy byly nulové). Pokud bych chtěl řešit pohybovou rovnici (1) pro nějaké konkrétní počáteční podmínky, musel bych tedy odhat řešení upravit tak, aby umožňoval fázový posun, např. jako $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} \sin(\omega t+\varphi)$ nebo $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi}( \sin\omega t+\cos\omega t)$ . Jestliže mi ale jde jen o získání vlastních vektorů soustavy, odhad ve tvaru sinusovky by taky stačil, nebo ne?

Možná jsem si už částečně odpověděl sám, tak ještě shrnu o co mi vlastně jde: jaké je pozadí rovnice (2), zejména pokud jde o zmíněný problém rovnosti reálného a komplexního vektoru? Předem děkuji za odpovědi.

pietro · 25. 05. 2013 11:02

↑ FliegenderZirkus: Ahoj, zaujímavá téma, to fí znamená amplitúdu a má rozmer dĺžky, však? Ináč by som sa s tým asi takto uzrozumel

https://cs.wikipedia.org/wiki/Komplexn% … D%C3%ADslo

reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních.

Elektrotechnici používají komplexní čísla velice často k výpočtu střídavých proudů obvodem.... a tiež je to reálny dej keď prejde elektrina niečím..

FliegenderZirkus · 25. 05. 2013 11:16

pietro napsal(a):
↑ FliegenderZirkus:
reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních

To je jistě pravda, jak to ale odpovídá na moji otázku? Také jistě platí, že aby by se rovnala dvě komplexní čísla, musí se rovnat jejich reálné a imaginární složky. Jestliže na levé straně rovnice (2) stojí vektor, jehož složky jsou reálné a jestliže i vektor amplitud $\boldsymbol\phi$ je reálný, tak by přece i všechny ostatní výrazy vystupující v součinu neměly mít komplexní složky, ne? Mám za to, že odhady
$\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} e^{i\omega t}$
a
$\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi}( \sin\omega t+\cos\omega t)$
by měly být ekvivalentní a lišit se jen formálně. Stále však nerozumím tomu, jak je ten přepis komplexními čísly myšlen. Ale děkuji za reakci.

Pavel Brožek · 25. 05. 2013 11:19

↑ FliegenderZirkus:

Ahoj, není to tak, že by se v (4) imaginární část jen tak zahodila.

Řešení rovnice (1) tvoří vektorový prostor. Abys rovnici vyřešil, stačí ti vlastně najít bázi v tom prostoru, libovolné řešení pak dostaneš jako lineární kombinaci bázových vektorů (takovou lineární kombinaci, aby řešení splňovalo počáteční podmínky). To, že si jako bázi zvolíš obecně komplexní funkce, vůbec nevadí, jejich lineární kombinace pak může být reálná funkce.

Všimni si, že pokud $\omega$ je takové, že (3) má netriviální řešení, pak i $-\omega$ dává stejné netriviální řešení. Takže k řešení $\mathbf{u}_1 = \boldsymbol{\phi} e^{i\omega t}$ vždycky existuje řešení $\mathbf{u}_2 = \boldsymbol{\phi} e^{-i\omega t}$ . Z těchto dvou řešení můžeš sestrojit nová řešení

$\mathbf{\bar u}_1 = \frac{\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2}2=\boldsymbol{\phi} \frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}2=\boldsymbol{\phi}\cos\omega t\nl \mathbf{\bar u}_2 = \frac{\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2}{2i}=\boldsymbol{\phi} \frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}=\boldsymbol{\phi}\sin\omega t$ .

Obráceně bys pomocí $\mathbf{\bar u}_1$ a $\mathbf{\bar u}_2$ mohl vyjádřit $\mathbf{u}_1$ a $\mathbf{u}_2$ . Jde jen o volbu báze.

pietro · 25. 05. 2013 12:33

↑ FliegenderZirkus: Svet je komplexný, iba pozorovania, ktoré preniknú na povrch sú reálne ("stratia" Imag.zložku, Im(z)=0......),

Aj tu....

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … 28t%29%3D0

A sa mi to páči takto elegantne a úsporne Eulerovým spôsobom zapisovať Komplex. čísla.

FliegenderZirkus

↑ Pavel Brožek:
No jo, už si vzpomínám, že něco takového jsme dělali v matematice.:) Bázi vektorového prostoru řešení se myslím říkalo fundamentální systém. Ještě tomu ale úplně nerozumím. Zkusím to shrnout:
Mám rovnici $\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{0}$ (1) s počátečními podmínkami $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ , $\dot{\mathbf{x}}(0)=\dot{\mathbf{x}}_0$ . Fundamentální systém se skládá z 2n lineárně nezávislých funkcí, které rovnici (1) vyhovují. Obecné řešení bude obsahovat 2n integračních konstant. Řešení (1) můžu odhadnout v různých tvarech, ale problém je v tom, že některé z těchto odhadů poskytnou jen n nezávislých řešení místo potřebných 2n. Je to tak? Když zkusím $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi}\sin\omega t$ , tak dokážu spočítat všech n vlastních vektorů (tvarů kmitu) soustavy, ale nebudu schopen vyřešit rovnici (1) pro obecně dané počáteční podmínky. Mohl bych tedy postupovat tak, že „zkusím“ nový tvar řešení $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi}\cos\omega t$ a tímto způsobem doplním druhých n bázových řešení ( $\boldsymbol{\phi}_i$ a $\omega_i$ vyjdou stejně) a můj fundamentální systém bude
$\mathbf{u}_i = \begin{cases} \boldsymbol{\phi}_i\sin\omega_i t & \text{pro}\ i\in \{ 1,2,\ldots,n\} \\ \boldsymbol{\phi}_{i-n}\cos\omega_{i-n} t & \text{pro}\ i\in \{ n+1,n+2,\ldots,2n\} \end{cases}$ .
Obecné řešení rovnice (1) potom napíšu jako lineární kombinaci fundamentálních řešení:
$\mathbf{u} = \sum_{j=1}^n(A_j\sin\omega_j t+B_j \sin \omega_j t)\boldsymbol{\phi}_j$ .

Bude fundamentální systém při použití exponenciály vypadat jako
$\mathbf{u}_i = \begin{cases} \boldsymbol{\phi}_i e^{i\omega_i t} & \text{pro}\ i\in \{ 1,2,\ldots,n\} \\ \boldsymbol{\phi}_{i-n}e^{-i\omega_{i-n} t} & \text{pro}\ i\in \{ n+1,n+2,\ldots,2n\} \end{cases}$ ?
Je to zaspáno dost krkolomně, ale snad je vidět, co mám na mysli. Píšu bakalářskou práci, ve které se pracuje s vlastními tvary, a proto potřebuji napsat nějaký formálně správný a srozumitelný úvod ke kmitání. V tuto chvíli se kloním nejspíše k použití odhadu $\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi}( \sin\omega t+\cos\omega t)$ a následnému skoku k $\mathbf{u} = \sum_{j=1}^n(A_j\sin\omega_j t+B_j \sin \omega_j t)\boldsymbol{\phi}_j$ . Jak přesně popsat ty mezikroky mi zatím není úplně jasné. Děkuji za pomoc.