Matematické Fórum

natalie1993

Dobrý den všem, potřebovala bych pomoct. S tímto : Dokaž že v rovnoběžníku platí $e^{2}+f^{2}= 2(a^{2}+b^{2})$ , aby to platilo pro každý. Nevím jak s tím hnout dál. Ze dvou trojúhelníků jsem pomocí cosinusové věty dostala toto:
$e^{2}= a^{2}+b^{2} - 2ab \cos \alpha$ a
$f^{2}= a^{2}+b^{2} - 2ab \cos \beta$

potom jsem si vyjádřila $\cos \alpha$ jako 180- $\beta$
a mám dvě rovnice, jen nevím jak s tím hnout dál, aby se mi ty úhly nějakým stylem vyrušily. Děkuji předem !

vanok · 25. 05. 2013 12:38

Ahoj ↑ natalie1993:,
Dufam, ze tvoj dokaz dokoncis.
Tu ti dam trocha inu cestu.
Nech ABCD je tvoj rovnobeznik.
Oznac H, H' ortogonalne projekcie bodov D, C na priamku ( AB).
Potom pouzi Pythagorovu vetu v trojuholnikoch DHB a ACH' a tiez ze CH'=DH a BH'=AH.

Staci?

natalie1993 · 25. 05. 2013 13:47

↑ vanok: : ortogonální projekce, hm. Děkuji moc za snahu, ale jsem třeťačka na gymnázium, co jsou ortogonální projekce ani jen netuším..

vanok · 25. 05. 2013 14:54

tu mas obrazok

Vyuzi, ze trojuholniky o ktorych som pisal su pravouhle.

Freedy · 25. 05. 2013 15:11

↑ natalie1993:
Ty rovnice máš správně. Nevím proč si je nedotáhla do konce. Nicméně:
Vyjádříš si uhlopříčku e jako:
$e^2 = a^2+b^2-2ab\cos \alpha$
Alfa+beta se musí rovnat 180 takže beta = 180-alfa.
Takže máš dvě rovnice:
$e^2 = a^2+b^2-2ab\cos \alpha$
$f^2 = a^2+b^2-2ab\cos (180-\alpha )$
Ze znalosti goniometrických funkcí můžeš přepsat:
$\cos (180-\alpha ) = -\cos \alpha$
Kdyžtak odvození zde:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Takže když to vlastně nahradíš tímhle tak dostáváš dve rovnice:
$e^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha$
$f^2=a^2+b^2+2ab\cos \alpha$
Nyní ty dvě rovnice sečti - dostaneš:
$e^2+f^2 = 2a^2+2b^2$
A to už je ten konečný vzorec.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2013 12:05 — Editoval natalie1993 (25. 05. 2013 12:09)

Vlastnost rovnoběžníků

#2 25. 05. 2013 12:38

Re: Vlastnost rovnoběžníků

#3 25. 05. 2013 13:47

Re: Vlastnost rovnoběžníků

#4 25. 05. 2013 14:54

Re: Vlastnost rovnoběžníků

#5 25. 05. 2013 15:11

Re: Vlastnost rovnoběžníků

Zápatí