Matematické Fórum

Skrytý text:

1)
Snadno se nahlédne, že podmínka je splněna pro prvočíslo (pak ) a (pak ). Také dost triviálně to platí pro kdy .

2)
Hypotéza, kterou se budu snažit ukázat, je, že pro jiná to už nenastává.

Uvažme tedy , kde
.
Pak čísla jsou jistě nesoudělná s , ale není. Pokud tedy , nemůžou čísla nesoudělná s tvořit aritmetickou posloupnost.

Zbývá tedy vyšetřit případ, kdy .
Kdyby , obsahuje zároveň . Pak už nutně musí obsahovat všechna lichá čísla menší než , ale je liché číslo menší než soudělné s ... spor.

Zbývá tedy případ, kdy , ale , tedy . Jelikož je pak a je soudělná, nutně musí být číslo soudělné - tedy nutně a .
(to dopíšu zítra)

Skrytý text:

Skončil jsem s tím, že je třeba vyšetřit čísla tvaru
.
Analogickými argumenty se ukáže, že pokud obsahuje , už obsahuje i , spor. Tedy lze předpokládat a .

Nejprve obecné pozorování:
Pro je nejmenší číslo nesoudělné s větší než prvočíslo.

Udělám následující "indukční krok":
Předpokládejme, že je aritmetická posloupnost, a prvočísla ze zápisu výše je prvních nejmenších prvočísel.
Zajímá nás, zdali je nejmenší následující prvočíslo, ozn. jej , nesoudělné s . Ukážeme, že nemůže být - pak bude muset platit, že a , čímž dostaneme (indukcí), že je "nekonečně velké" - formálně vzato tedy spor.

Předpokládejme tedy, že je nesoudělné s .
Prvně si všimněme, že :
Jinak je nutě číslo dělitelné součinem . To by ovšem znamenalo, že mezi a nejsou žádná prvočísla vyjma , speciálně pak, že to je spor (kde je Eulerova fce).

Uvažme tedy takové . Pak . S trochou snahy se dá ukázat, že . Tedy kdyby bylo nesoudělné s , netvoří aritmetickou posloupnost, jelikož by musela obsahovat což je ovšem číslo dělitelné , tedy soudělné s . Tím je indukční krok hotov.