Matematické Fórum

Tsukuyomi · 26. 05. 2013 14:48

Dobrý den, mám ukázkový příklad:

Dokažte, že zobrazení f je homomorfismus lineárních vektorových prostorů, určete jádro a rozhodněte, zda se jedná o monomorfismus, př. epimorfismus.
$f: R^{2} -> R^{2} (x,y) -> (x+y,y)$

Něco jsem si dohledal a zkusil vypočítat, bohužel nemám (tedy nenašel) způsob jak si ověřit výsledek - postup, tak jestli by někdo byl tak hodný a podíval se na to.

Homomorfizmus je každé lineární zobrazení takže najdu obraz, ten generují vektory (1,0) a (1,1).
Jádro najdu tak že položím (x+y,y) = (0,0) z toho y=0 a tedy i x=0 jádro je (0,0)
Z toho pak usuzuji, že se jedná o monomorfizmus a protože obraz patří do R^2 pak se jedná i o epimorfizmus.
?

vanok · 26. 05. 2013 15:12

Ahoj ↑ Tsukuyomi:,
mas dobre myslienky, len su trochu chatoticky napisane.
Struktura dokazu
1) ukazat, ze f je homomorfismus
2) najst jadro ( to si celkom dobre nasiel, vyjedri to prehladnejsie) ako aj dosledok ze ide o monomlorfismus
3) epimorfizmus znamena, ze obraz $Im(f)= R^2$ , no to nevidim vyssie dokazane
4) isomorfismus kladna alebo zaporna odpoved zavisi od otazky 3)

Tak dobre dokoncenie cvicenia.

Brano · 26. 05. 2013 15:23

ak si to s tym obrazom myslel takto:
$(1,0)\mapsto (1,0)$ a $(0,1)\mapsto (1,1)$ a z linearity $f$ vyplyva, ze $Im(f)$ je teda generovane $(1,0)$ a $(1,1)$ co je cele $R^2$
tak potom to mas dobre