Matematické Fórum

liamlim

Zdravím všechny

Bohužel jsem vymyslel příklad, u kterého mám hypotézu, jaké by mohlo být řešení, ale nejsem schopný dokázat určité tvrzení. Ten příklad není moc zajímavý, dám ho sem proto, aby bylo jasné, kde jsem se k mé otázce dostal. takže příklad: Nejprve počet kladných dělitelů čísla $a$ značme $f(a)$ . Dále definujme funkci $g(x,y)$ jako y-tý nejvyšší dělitel čísla $x$ pro $y\le f(x)$ a pro $y>f(x)$ definujme $g(x,y)=x$ .

Pak určete hodnotu součtu:

$\sum_{k=1}^ng(k^2;k+1)$

takže, pro prvních pár hodnot jsem si všiml, že $f(k^2)\le k+1$ pro každé $k$ , ale nejsem to schopný zatím dokázat, jen se mi to zdá, že by to tak mohlo i být. Jestliže to tak je, pak je příklad docela lehký, jestliže ne, pak nevím, jestli je vůbec řešitelný.

Takže jestli se někdo podívá na tento příklad, může zkusit rozhodnout jestli opravdu pro každé $k$ je $f(k^2)\le k+1$ . Byl bych hrozně rád, kdybych viděl jak se podobné důkazy dělají, díky

TomF · 27. 05. 2013 22:15

Zdravím,
ano, tak by byla úloha hodně jednoduchá, ale ona se zdá, že bude spíš hodně složitá. Už hned při k=6 , tedy k^2=36, je f(36)=9 . Myslím, že se nechá selsky předpokládat, že takové nepravidelnosti proti tvému předpokladu budou asi s rychlím růstem k^2 stále četnější, ale já osobně se v tom dosti plácám a pravděpodobně nic nevyřeším, jen jsem ti chtěl ušetřit čas s dokazováním $f(k^2)\le k+1$

Kondr · 27. 05. 2013 23:42

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

liamlim

↑ TomF:

Díky za upozornění na případ $k=6$ . Toto číslo jsem ještě zkoušel ale zapomněl jsem ho umocnit, zkoušel sem tedy $f(2\cdot 3)$ a ne $f(2^2\cdot 3^2)$ . No, nakonec Kondr ukázal že pro $k>6$ tvrzení platí pro všechna čísla.

Mimochodem, myslím si, že si byl letos na ŠMF je to pravda? Jestli ano, pak jsme se tam potkali.

↑ Kondr:
Díky za pěkné řešení. Mrzí mě, že jsem na toto nepřišel sám, ale třeba když někdy uvidím podobný příklad, tak si vzpomenu na tento.

Takže abych úlohu uzavřel, hodnota součtu $\sum_{k=1}^ng(k^2;k+1)$ je pro $n<6$ rovna $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Pro $n\ge 6$ je rovna $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-24$

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2013 20:38 — Editoval liamlim (27. 05. 2013 09:03)

funkce, dělitelé

#2 27. 05. 2013 22:15

Re: funkce, dělitelé

#3 27. 05. 2013 23:42

Re: funkce, dělitelé

#4 28. 05. 2013 10:04 — Editoval liamlim (28. 05. 2013 10:15)

Re: funkce, dělitelé

Zápatí