Matematické Fórum

↑ Brzls:

Mechanice tekutin moc nerozumím a ani nemám moc času si odpověď pořádně rozmyslet, tak zkusím přispět jen pár postřehy:
1) Při dostatečné výšce válce by šlo zanedbat změny veličin ve směru jeho osy a celý problém pak půjde popsat v cylindrických souřadnicích pomocí jediné souřadnice r. Tím pádem se drasticky zjednoduší Navier-Stokesovy rovnice a výsledná ODR popisující stacionární laminární proudění by měla být analyticky řešitelná. Nejsem si jistý tím, co se bude dít pro r=0, podobný příklad jsme počítali jen pro meziválcovou štěrbinu (kluzné ložisko) a tam žádná singularita nenastane.
2) Na rozhraní tekutiny a pevné stěny se nejčastěji uvažuje tzv. no-slip okrajová podmínka, která stanoví, že rychlost částeček tekutiny v těsné blízkosti stěny se rovná rychlosti této stěny.
3) Sílu mezi stěnou a přiléhající vrstvou kapaliny jde spočítat pomocí součinu tečného napětí v kapalině a kontaktní plochy. Pro newtonské kapaliny platí , kde je dynamická viskozita, r radiální souřadnice a u rychlost.

Nejsem si tím, co jsem napsal, úplně jistý. Ale nějak tak by se asi mohlo začít.

↑ Brzls:

Já bych řekl, že prvním problémem bude definice počáteční podmínky, tedy toho, jak kapalinu roztočíš, aniž bys zároveň roztočil i nádobu. V realitě je to snadné, stačí lahví vykonávat krouživé pohyby a je to, jenže jak takové proudění modelovat nevím. Pokud bychom vyšli z toho, že roztočíme nádobu (kolem své osy, ne krouživými pohyby) a počkáme, až se uvnitř ustálí proudění, tak je to myslím schůdné výše popsaným způsobem. Pak by šlo zkoumat časový průběh momentu potřebného pro násilné zastavení nádoby. To už je ale dost vzdálené tvojí původní úloze.

Jakmile opustíš svět stacionárních (ustálených) řešení, vždy skončíš s PDR, protože zbyde časová a alespoň jedna prostorová nezávislá souřadnice. Programy pro simulaci proudění (CFD—Computational Fluid Dynamics) už ale jsou na většině technických VŠ studentům k dispozici a jednodušší výpočty s malými nároky na přesnost na dnešních pc už netrvají roky. :)

O tomhle tématu se dá dost najít pod heslem „Couettovo proudění“, tj. proudění vyvolané kinematicky (pohybem stěny), oproti častějšímu proudění hnanému tlakovým rozdílem (např. v potrubí).

K tomu prvnímu dotazu—i v tekutině dochází k tření, tedy k disipaci energie. U výše zmíněného proudění v potrubí se projeví poklesem tlaku, u jiných zase rychlosti (to v trubce nelze kvůli zachování hmotnosti—rovnici kontinuity).

Ještě bych měl opravit překlep u té newtonské kapaliny, kde na pravé straně chyběla v součinu dynamická viskozita.