Matematické Fórum

natalie1993

Dobrý večer všem, potřebovala bych pomoct dopočítat tohle: dokaž že $n^{5}$ -n je dělitelné 30
Začala jsem s tím že jsem napsala $n^{5}$ -n = 30k
potom jsem to chtěla dopočítat a nějak mi to nevyšlo..tak jsem uvažovala logicky : že se to dá rozepsat jako N(n-1)(n+1)(n^2+1) což zaručuje že to je dělitelné 3 i 2 tedy 6...ale jak dokázat že i 5? děkuji

Blackflower · 27. 05. 2013 20:04

↑ natalie1993: Ahoj, si si istá zadaním? Keď dosadíme $n=2$ , dostaneme $n^5=32$ ...

natalie1993 · 27. 05. 2013 20:09

↑ Blackflower:: pardon zle jsem to napsala

Blackflower

↑ natalie1993: Keď už deliteľnosť 2 a 3 máme, ja by som asi navrhla použiť metódu, že za n postupne dosadíme výrazy $5k-2$ , $5k-1$ , $5k$ , $5k+1$ , $5k+2$ . Netreba to roznásobovať, vždycky bude vidieť, že jedna zátvorka je deliteľná 5 (nie vždy tá istá).

natalie1993 · 27. 05. 2013 21:43

↑ Blackflower: : nechápu moc tedy, je mi jasné že jedna bude dělitelná pěti, ale do jakého tvaru to dosadím? nebo jak bude vypadat finální??

Blackflower

↑ natalie1993: Asi som to zle vysvetlila. Ospravedlňujem sa.
Zoberieme si najprv n=5k-2 (toto je to isté ako 5k+3 - má to rovnaký zvyšok po delení 5):
$n(n-1)(n+1)(n^2+1)=(5k-2)(5k-2-1)(5k-2+1)((5k-2)^2+1)=$
$=(5k-2)(5k-2-1)(5k-2+1)(25k^2-10k+4+1)$
V tomto prípade je deliteľná piatimi posledná zátvorka, takže zabezpečí deliteľnosť celého výrazu číslom 5.
Podobne to urobíš pre n=5k-1, n=5k, n=5k+1 a n=5k+2.
Môže byť tak?

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2013 19:47 — Editoval natalie1993 (27. 05. 2013 20:09)

Matematická indukce

#2 27. 05. 2013 20:04 Příspěvek uživatele Blackflower byl skryt uživatelem Blackflower. Důvod: duplicita a je tam chyba

#3 27. 05. 2013 20:04

Re: Matematická indukce

#4 27. 05. 2013 20:09

Re: Matematická indukce

#5 27. 05. 2013 20:44 — Editoval Blackflower (27. 05. 2013 20:47)

Re: Matematická indukce

#6 27. 05. 2013 21:43

Re: Matematická indukce

#7 27. 05. 2013 21:51 — Editoval Blackflower (27. 05. 2013 21:55)

Re: Matematická indukce

Zápatí