Matematické Fórum

Yuyik · 28. 05. 2013 09:56

Zdravím,
mám problém s jednou rovnicí s celou a necelou částí čísla.

$[\frac{x}{4}]+\langle[x]\langle{x}\rangle\rangle=0$

Ať na to koukám jak na to koukám, napadá mě jen jedno řešení a to x=0.

Díky za pomoc.

P.S.: Nezná někdo náhodou něco, co by tyto rovnice umělo počítat? Zkoušela jsem to dát do Wolframu, ale buď to zapisuju špatně, nebo to neumí. Díky.

OiBobik

↑ Yuyik:

Ahoj,

prvně otázka definic: Předpokládám, že celá část je dolní celá část, tedy něco jako
$[y]\stackrel{\text{def}}{=}\max\{z \in \mathbb{Z}| z\leq y\}$ ,
$\langle y \rangle \stackrel{\text{def}}{=} y-[y]$ .

Je to tak?

Pokud ano, lze postupovat takto:

Předpokládejme, že $x \neq 0$ splňuje rovnici

$\[\frac{x}{4}\]+\langle[x]\langle x\rangle\rangle=0$ .

To lze přepsat jako

$\[\frac{x}{4}\]=-\langle[x]\langle x\rangle\rangle$

A teď:

1) Pro která $y \in \mathbb{R}$ je $\langle y\rangle$ celé číslo? A co z toho plyne pro rovnici výše?

Yuyik · 28. 05. 2013 13:33

↑ OiBobik:
Ano, definice jsou přesně tak.

Akorát hned s 1) se peru. Budu muset ještě jednou nastudovat vlastnosti necelé části čísla.

Podle mě:
Když $y\in \mathbb{Z}$ , pak $\langle{y}\rangle=0$ .
Pokud $y\in \mathbb{R}$ , pak $0<y<1$ .

Jsem zmatená, připadá mi, že necelá část z nějakého čísla nemůže být celé číslo.

Stýv · 28. 05. 2013 14:10

↑ Yuyik: copak 0 není celé číslo? (Když $y\in \mathbb{Z}$ , pak $\langle{y}\rangle=0$ .)

a jen pro upřesnění: Pokud $y\in \mathbb{R}\setminus\mathbb Z$ , pak $0<y<1$ .

OiBobik · 28. 05. 2013 14:10

↑ Yuyik:

Vzdyt to sama pises. 0 je cele cislo. ;) a je to jedina celociselna hodnota, ktere muze nejaky vyraz tvaru $\langle y \rangle$ nabyvat. Tedy nutne se obe strany rovnice rovnaji nule. Co z toho jde dale usoudit?

Yuyik · 28. 05. 2013 14:21

↑ OiBobik:
Takže:
z levé strany:
$[\frac{x}{4}]=0$ , z toho plyne, že $0\le x<4$

a z pravé strany:
$\langle[x]\langle{x}\rangle\rangle=0$ , z toho plyne, že $[x]\langle{x}\rangle$ musí být celé číslo.

A... a dál nevím, už mi to nemyslí... :-(

OiBobik

↑ Yuyik:

Ano, to je správně.

Zkus to teď třeba rozebrat podle toho, jaké hodnoty nabývá $[x]$ (kolik je možností?), a vystopovat z toho všechna možná řešení (tj. jaké podmínky to pak klade na $\langle x\rangle$ ).

Např:
Případ $[x]=0$ :
Pak je nutně $0<x<1$ . Přitom $[x]\langle x\rangle=0\langle x \rangle=0$ , tedy výraz $[x]\langle x\rangle$ je celočíselný nehledě na hodnotu $\langle x \rangle$ . A skutečně, libovolné číslo $x \in (0,1)$ rovnici splní.

Takto lze vyšetřit i zbylé případy (pozor, tam už nějaké podmínky na tvar toho $\langle x \rangle$ budou).

Yuyik · 28. 05. 2013 15:08

↑ OiBobik:
1) $[x]=1$
Pak $1\le x<2$ a zároveň $[x]\langle{x}\rangle=1\langle{x}\rangle=0 \Rightarrow x\in \mathbb{Z}$ .
Z toho vyplývá, že $x=1$

2) $[x]=2$
Pak $2\le x<3$ a zároveň $[x]\langle{x}\rangle=2\langle{x}\rangle=0\Rightarrow x=k+0,5; k\in \mathbb{Z}$ .
Z toho vyplývá, že $x\in \{2;2,5\}$ .

3) $[x]=3$
Pak $3\le x<4$ a zároveň $[x]\langle{x}\rangle=3\langle{x}\rangle=0\Rightarrow x=k+\frac{l}{3}$ , kde $k\in \mathbb{Z}$ a $l\in \mathbb{R}; l\in \langle0,3)$ .
Z toho vyplývá, že $x=3+\frac{l}{3}$ kde $l\in \mathbb{R}; l\in \langle0,3)$ .

OiBobik

↑ Yuyik:

1) je správně.
2) výsledek taky, ale neplatí nutně $2\langle x \rangle=0$ ... platí pouze, že $2\langle x \rangle \in \{0,1\}$ .
3) Podobný nedostatek jako u dvojky, a ještě ti ulítlo to řešení:
Máme $3\langle x \rangle \in \mathbb{Z}$ , z toho (jelikož $0 \leq \langle x \rangle < 1$ ) máme, že
$3\langle x \rangle \in \{0,1,2\}$ ... a tedy nutně $\langle x \rangle \in \frac{l}{3}$ , kde je $l$ celé číslo menší než $3$ .

Tedy u 3) máme řešení
$x\in \{3,\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\}$ .

Pozn:
Jako další cvičení se můžeš pokusit zobecnit, jak to bude fungovat pro rovnici

$\[\frac{x}{n}\]+\langle \[ x \] \langle x \rangle \rangle=0$ ,

kde $n$ je nějaké celé kladné číslo.