Matematické Fórum

mulder · 27. 05. 2013 21:28

Zdravím, mám prblém s tímto příkladem. Nevím jak začít. Prosím o výpočet. Děkuji $\int_{}^{}\frac{tg^{2}x-2tgx-1}{tgx+1}dx$

Formol · 28. 05. 2013 14:54

Tangens si rozepiš jako podíl sinu a kosinu a posčítej. Složený zlomek by měl jít postupně upravit na zlomek (pokud jsem neudělal chybu):

A to už vypadá, že by se dalo uhrát na substituci...

Brzls · 28. 05. 2013 15:22 — Editoval Brzls (28. 05. 2013 15:43)

Zdravím
Podle mě by také šlo postupovat takhle

$\frac{t^{2}-2t-1}{t+1}=-3+t+2\frac{1}{t+1}$

$\int_{}^{}\frac{tg^{2}x-2tgx-1}{tgx+1}dx=-\int_{}^{}3dx+\int_{}^{}tgx dx+2\int_{}^{}\frac{1}{tgx+1}dx$

první dva jsou snadné a třetí lze upravit takto

$\int_{}^{}\frac{1}{tgx+1}dx=\int_{}^{}\frac{cosx}{sinx+cosx}dx$

$\int_{}^{}\frac{1}{2}\frac{cosx-sinx+sinx+cosx}{sinx +cosx}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{f^{1}(x)}{f(x)}+1dx$

Ta jednička u f má být derivace, a v této podobě by už to taky měla být brnkačka. Výhoda spočívá v tom, že se nemusíte obtěžovat s vymýšlením substituce.

mulder · 28. 05. 2013 15:50

↑ Formol: Mi to vyšlo trochu jinak po úpravě. $-\int_{}^{}\frac{cos2x+sin2x}{cosx\cdot (sinx+cosx)}dx$

mulder · 28. 05. 2013 15:52

↑ Brzls:Výsledek by měl vyjít $-2x-log(cosx)+log(sinx)+cosx$ .

mulder · 28. 05. 2013 16:06

↑ Brzls:Není mi jasné hned ta první úprava. Po integraci by vyšlo -3x, ale ve výsledku je -2x atd.

Formol · 28. 05. 2013 16:43

↑ mulder:
Netvrdím, že jsem neudělal početní chybu;-)
Brzisův postup je samozřejmě mnohem lepší. To, co pokládáš za kouzlo, je dělení polynomu polynomem se zbytkem. Ta trojka se tam objevila nedopatřením.

Brzls · 28. 05. 2013 18:02

↑ mulder:

Ten výsledek co uvádíš je divnej. Je tam jenom šoupnutá závorka mělo by to být
$-2x-log(cosx)+log(sinx+cosx)+C$
(Kde log je logaritmus o základu e)
Potvrdil mi to i Wolframalfa

Když se koukneš na poslední integrál (uplně opslední řádek) tak uvidíš že po integraci ti vyjde x
-3x+x=-2x a problém je vyřešen...

stenly · 28. 05. 2013 18:30

↑ mulder:Řeš to univerzální substitucí tg(x)=t,pak x=arctg(t).....dx=1/(1+t^2).

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2013 21:28

neurčitý integrál

#2 28. 05. 2013 14:54

Re: neurčitý integrál

#3 28. 05. 2013 15:22 — Editoval Brzls (28. 05. 2013 15:43)

Re: neurčitý integrál

#4 28. 05. 2013 15:50

Re: neurčitý integrál

#5 28. 05. 2013 15:52

Re: neurčitý integrál

#6 28. 05. 2013 16:06

Re: neurčitý integrál

#7 28. 05. 2013 16:43

Re: neurčitý integrál

#8 28. 05. 2013 18:02

Re: neurčitý integrál

#9 28. 05. 2013 18:30

Re: neurčitý integrál

Zápatí