Matematické Fórum

miso16211 · 30. 05. 2013 13:11

zdravím ako vy riešim túto limitu
$\lim_{n\to-\infty }4^{(n-2)\cdot (n-3)}$

dospel som len k tomu
$\lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}\cdot (1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}})}$
$\lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}}$ = $\lim_{n\to\infty }4^{n^{2}}$ to mi vychadza do nekonečna, ale $n^{2}$ to bude i pri minuse i pri pluse
viem že je to zle.

nejsem_tonda

Cau,
zaver je v poradku. Jen bych netvrdil, ze
$\lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}\left(1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}}\right)} = \lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}}$ ,
pokud jsi chtel toto rict. Ono to je sice pravda, ale je potreba byt opatrny v argumentaci. Je totiz nekorektni limitu nejdriv jakoby pustit jen na kousek vyrazu a pak ji zase napsat pred cely vyraz.

Treba tady by bylo jasne, ze delame neco nekaleho, kdybychom tvrdili, ze
$\lim_{n\to\infty }\left(1+\frac1n\right)^n = \left(1+\lim_{n\to\infty }\frac1n\right)^n = \lim_{n\to\infty } (1+0)^n = 1$ (protoze spravne ma limita vyjit e)

Z podobneho duvodu nemuzeme primocare tvrdit, ze
$\lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}\left(1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}}\right)} = 4^{n^{2}\lim_{n\to-\infty }\left(1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}}\right)} = \lim_{n\to-\infty }4^{n^{2}}=+\infty$ ,

ale muzeme tvrdit, ze
$\lim_{n\to-\infty }4^{(n-2)(n-3)} = 4^{\lim_{n\to-\infty }(n-2)(n-3)} = +\infty$

miso16211

↑ nejsem_tonda:
tu je vysledok a ma vyjsť 4, druha úloha posledný príklad. Neviem skade sa tam nabralo to dva a potom zmizlo.
http://www.priklady.eu/sk/Riesene-prikl … nosti.alej
a viem, že nie je dobré "uplatniť to kde smeruje n" po kuskoch. Stačilo napísať/povedať že zátvorka $(1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}})$ má limitu jedna ak n smeruje do $-\infty$ a zároveň $n^{2}$ má nevlastnú limitu $+\infty$ . Teda celkovo má táto zatvorka resp. exponent nevlastnú limitu $+\infty$ a teda aj celá postupnosť.
Všeko v jednom kroku.

PS.: a toto môžeme tvrdiť? $4^{[\lim_{n\to-\infty }n^{2}]\cdot[\lim_{n\to-\infty } (1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}})] }$

nejsem_tonda

↑ miso16211:
Prvne k materialum, ktere pouzivas. Bohuzel je nejen nelze doporucit, ale skoro je potreba se jim vyhybat. Nevim presne, kolik chyb obsahuji, ale z uloh 5-8, na ktere jsem se podival, maji spravne vyresenou jen ulohu 6 (mozna proto, ze k ni pro jistotu napsali jen vysledek).

Neda mi to a napisu, v cem je problem:
5) Nejspis jen preklep, ale rozhodne neplati $12-0=12^{2008}$
7) V prvni rovnosti v podstate tvrdi, ze $n3^{-n}=\frac{2}{3^n}$ . Druha rovnost $\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{1}{2^n}+\frac{4}{5^n}}{3n+2+\frac{2}{3^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{3n+2}$ obsahuje presne ten problem, o kterem se ted bavime. Rovnost sice plati, ale rozhodne ji nelze zduvodnit tak, ze ty "male cleny" nechame dojit k nule a potom limitu vratime pred cely vyraz.
8) Tam se v podstate tvrdi, ze $n^2-5n+6=1-\frac5n+\frac{6}{n^2}$ (pote, co si domyslime, kde mela byt ta divna dvojka), takze to je uplne blbost.

Zvaz sam, jestli takove materialy pouzivat dal. Jsou i rozumne materialy na stredoskolske limity. Potom lze kdyztak pouzit i VS materialy, napriklad v tomto se alespon nelze, ale lepsi prehled o povedenych materialech ma treba Jelena.

PS.: a toto môžeme tvrdiť? $4^{[\lim_{n\to-\infty }n^{2}]\cdot[\lim_{n\to-\infty } (1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}})] }$

Ano, to lze tvrdit. Abych byl presnejsi, tak bychom spravne meli zavest pocitani na rozsirenych realnych cislech. To jsou realna cisla spolu s $-\infty$ a $\infty$ . Definuji se operace ve stylu $\textrm{kladne cislo}\cdot\infty=\infty$ , $\textrm{zaporne cislo}\cdot\infty=-\infty$ , $\frac{\textrm{cislo}}{\infty}=0$ , a dalsi. Nektere operace jako napriklad $0\cdot\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0^\infty$ aj. zustavaji nedefinovane.

Potom se da exaktne ukazat, ze vety o limitach lze pouzit, pokud po jejich aplikaci dostaneme definovany vyraz. Ve tvem pripade dostavas vyraz typu $\infty\cdot1$ , coz je definovane jako $\infty$ , takze je vse v poradku.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2013 13:11

limita exponenciálnej postupnosť

#2 30. 05. 2013 14:27 — Editoval nejsem_tonda (30. 05. 2013 14:28)

Re: limita exponenciálnej postupnosť

#3 30. 05. 2013 16:09 — Editoval miso16211 (30. 05. 2013 16:20)

Re: limita exponenciálnej postupnosť

#4 30. 05. 2013 20:01 — Editoval nejsem_tonda (30. 05. 2013 20:04)

Re: limita exponenciálnej postupnosť

Zápatí