Matematické Fórum

Taran · 31. 05. 2013 10:31

Pěkný den,
mám s využitím základní věty integrálního počtu spočítat následující limitu:

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) .... 2n}}{n}$

Bohužel si vůbec nevím rady, dělali jsme na toto téma jeden jednoduchý příklad, kde jsme ale měli zadanou sumu a tu jsme nějak napasovali do definice.

Poradí někdo?

Rumburak · 31. 05. 2013 12:57

↑ Taran:
Zdravím také. Základní věta IP je co ?

Brano · 31. 05. 2013 13:34 — Editoval Brano (31. 05. 2013 14:17)

$\ln \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) .... 2n}}{n}=\ln \sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2) .... 2n}{n^n}}=\sum_{k=1}^n\ln$1+\frac{k}{n}$\frac{1}{n}$
co je horny integralny sucet integralu
$\int_0^1\ln(1+x)dx\quad(=\ln 4-1)$
pri deleni s $\Delta x=\frac{1}{n}$
a teda ta limita bude
$\exp$\int_0^1\ln(1+x)dx$=4-e$