Matematické Fórum

berq · 01. 06. 2013 20:34

V definici diferenciálu se vyskytuje:

$\lim_{h\to0}\frac{\tau (h)}{h}=0$

Respektive pro diferenciál funkce dvou proměnných:

$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\tau (h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0$

Pokud se nepletu, tak to číslo ve jmenovateli je v obou případech norma vektoru (a kterého? v případě jedné proměnné vektoru zadávající tečnu; v případě 2 proměnných je to vektor zadávající tečnou rovinu?)

K čemu to tam je, resp. co by nefungovalo, kdyby se prostě napsalo:

$\lim_{h\to0}\tau (h)=0$
$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\tau (h,k)=0$

tj. vypustil by se ten jmenovatel?

Intuitivně to chápu tak, že když jdeme s h blíže k tomu bodu, ve kterém je to tečna, tak se snižuje ta chyba. Což se mi zdá, že funguje i když se to vypustí z toho jmenovatele? K čemu tedy tam je ten jmenovatel?

Brano · 01. 06. 2013 21:54

Predpokladam, ze pod $\tau$ myslis tento zvysok $\tau(h)=f(x+h)-f(x)-df(x;h)$ , kde $df(x;h)$ je taka linearna funkcia, ze $\frac{\tau(h)}{h}\to 0$ . Ak sa taka da najs tak sa fcii hovori diferencovatelna a $df(x;h)$ sa hovori diferencial.

Ak by si ziadal aby iba $\tau(h)\to 0$ tak by ta definicia nebola nikdy jednoznacna. Ako modelovy priklad nam moze posluzit $f(x)=x$ standardne vieme, ze $f'(x)=1$ a teda $df(x;h)=h$ a teda $\tau(h)=(x+h)-x-h=0.$
Podla tvojej definicie by si vsak mohol za diferencial zobrat lubovolne $df=Ah$ a potom $\tau(h)=(x+h)-x-Ah=(1-A)h\to 0.$

Ak si to premyslis, tak rychlo prides na to, ze podla tvojej definicie by kazda spojita funkcia bola diferencovatelna a jej diferencial by bola lubovolna linearna funkcia - resp. presnejsie $df(x;h)=k(x)h$ cize takyto pojem by nemal nejake extra prakticke vyuzitie.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2013 20:34

Definice diferenciálu

#2 01. 06. 2013 21:54

Re: Definice diferenciálu

Zápatí