Matematické Fórum

lolk · 01. 06. 2013 22:08

Ahoj, mohl by mi někdo prosím dát návod jak se vypočítat tyto čtyři rovnice? Zkoušela jsem snad všechno, ale vůbec nevím co s tím. :( Předem děkuji
$\sin ^{2}x\cdot (\text{tg}x+1)=3\sin x\cdot (\cos x-\sin x)+3$
$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\frac{1}{3}$
$\sin x+\cos x=\frac{1}{2}\sin x$
$\cos 4x=-2\cos ^{2}x$

Sherlock · 01. 06. 2013 23:00

2. Nejspíš použít větu o součtu druhých mocnin funkcí sin a cos:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ umocnění
$\sin ^{4}x+2\cos ^{2}x\sin ^{2}x+\cos ^{4}x=1^{2}$
$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\cdot \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$
Čímž pádem dostaneme rovnici do řešitelnějšího tvaru:
$1-2\cdot \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x=\frac{1}{3}$

Jj · 01. 06. 2013 23:15 — Editoval Jj (01. 06. 2013 23:32)

↑ lolk:

$cos4x=-2cos ^2x$
$cos^22x-sin^22x=-2cos ^2x$
$2cos^22x-1 +2cos ^2x=0$
$2cos^22x-1 +cos ^2x + 1 - sin^2x=0$
$2cos^22x +cos2x =0$
.....

$\sin x+\cos x=\frac{1}{2}\sin x|:cosx$
$tgx+1=\frac{1}{2}tgx$
.....

lolk · 01. 06. 2013 23:22

díky obou.. zkusím to teď dopočítat ;) snad mi něco vyjde... :)

Freedy · 01. 06. 2013 23:30

U té čtyřky, pokud se ti nechce rozdělávat ten kosinus 4x.
$\cos 4x=-2\cos ^2x$
dáš si substituci 2x = u
$\cos 2u=-2\cos ^2(\frac{u}{2})$
$\cos ^2u-\sin ^2u=-(1+\cos u)$
$2\cos ^2u-1=\cos u-1$
$\cos u(2\cos u-1)=0$
Spočítat u a potom přes substituci zdvojnásobit

zdenek1 · 02. 06. 2013 11:13

↑ lolk:
$\sin ^{2}x\cdot (\text{tg}x+1)=3\sin x\cdot (\cos x-\sin x)+3$
$\sin ^{2}x\cdot (\text{tg}x+1)=3\sin x\cos x-3\sin^2 x+3\sin^2x+3\cos^2x$
$\sin ^{2}x\cdot (\text{tg}x+1)=3\sin x\cos x+3\cos^2x$
$\sin ^{2}x\cdot \frac{\sin x+\cos x}{\cos x}=3\cos x(\sin x +\cos x)$
$\sin x+\cos x=0$ nebo $\sin^2x=3\cos^2x$
$\tan x=-1$ nebo $\tan x=\pm\sqrt3$
atd.