Matematické Fórum

simcilka · 01. 06. 2013 22:32

Dobrý den, chtěla zdali řeším správně tento integrál, popř radu o postup se substitucí, jelikož se nerada učím vzorce nazpamět. $\int(x + 2)/(2 x^2 + 1)dx$ jsem si rozdělila na 2 integrály $\int(x )/(2 x^2 + 1)dx$ což je $1/4 \log (2x^2+1)$ a $\int(2)/(2 x^2 + 1)dx$ coz mi vyslo $\sqrt2 arctg(\sqrt2 x)$ a tento ingrál jsem řešila podle vzorce $\int 1/(a^2+x^2)=1/arctg(x/a)$ ale nevim jak se na tento vzorec prišlo. Mám dále spočítat $\lim_{x\to-\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ a tady jsem zapomněla jak je s tou větou. Prosím mohl byste mi to někdo dovysvětlit

Brano · 01. 06. 2013 23:10

co sa tyka vzorca:
predpokladam, ze je zname
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
potom v
$\int \frac{1}{a^2+x^2}$
vyjmi $a$ pred zatvorku a substituuj $\frac{x}{a}=y$

co sa tyka limity, tak sa da len konstatovat, ze ak $f$ je vhodne slusna tak
$\lim_{x\to-\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{-\infty}f(t)dt$

simcilka · 02. 06. 2013 10:10

↑ Brano:
děkuji a mužu se zeptat co je myšleno tím, jestližš je f vhodně slušná? Myslela jsem ze se na to pouzije takova ta zakladni veta kalkulu,...

Brano · 02. 06. 2013 10:29

Neviem co myslis pod zakladnou vetou kalkulu ...
To vhodne slusna dost zavisi od toho ako mate definovany nevlastny integral a vobec to nie je podstatne, proste na priklade
$\lim_{x\to-\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$
nie je co by sa dalo pocitat.

simcilka · 02. 06. 2013 15:59

↑ Brano:

omlouvam se nedopsala jsem cely reseni prikladu, ta funkce byla oznacena $f(x)=\frac{x+2}{2x^2+1}$ mela jsem spocitat integral a pak nasledne tu limitu, tedy kdyz jsem provedla záměnu integrálu a limity dostanu vysledek nekonecno je to spravne? A kdyz tedy budu mít spočítat $\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tak to provedu jak?

Brano · 02. 06. 2013 23:24

Tak to je ina rec.

Nemas ako prehodit limitu a integral, lebo limita je voci $x$ a integruje sa voci $t$ a este k tomu je $x$ v hraniciach.

$\int_{0}^{x}\frac{t+2}{2t^2+1}dt=\frac{1}{4}\ln(2x^2+1)+\sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}x)$
a teda
$\lim_{x\to\infty}$\frac{1}{4x}\ln(2x^2+1)+\frac{\sqrt{2}}{x}\arctan(\sqrt{2}x)$=0$

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2013 22:32

limita integrálu

#2 01. 06. 2013 23:10

Re: limita integrálu

#3 02. 06. 2013 10:10

Re: limita integrálu

#4 02. 06. 2013 10:29

Re: limita integrálu

#5 02. 06. 2013 15:59

Re: limita integrálu

#6 02. 06. 2013 23:24

Re: limita integrálu

Zápatí