Matematické Fórum

ajeto · 02. 06. 2013 21:52

Dobrý večer,
nie je mi jasná jedna vec v dôkaze spomenutej vety:

Nech $X$ je vektorový priestor, $Y\subset X$ a $conv{Y}=\{\sum_{i=1}^{r}\alpha_i y_i \Big|\alpha_i>0,\sum_{i}\alpha_i=1,y_i\in Y\}$ je konvexný obal $Y$ .
Potom pre každé $y\in conv{Y}$ existuje taký výber $x_0,x_1,x_2,\dots,x_n$ prvkov z $Y$ , že vektory
$x_1-x_0,x_2-x_0,\dots,x_n-x_0$ sú lineárne nezávislé.

Čo mám k tomu dôkazu v poznámkach:

Vezmime $y\in conv{Y}$ a najmenšie také $m$ , že $y=\alpha_0x_0+\dots+\alpha_m x_m\,,\, \alpha_i>0,\sum_{i}\alpha_i=1,x_i\in Y$ .

Ak $x_1-x_0,x_2-x_0,\dots,x_m-x_0$ sú lin.závislé, potom existujú čísla $\lambda_i$ tak, že $\sum_{i=1}^m \lambda_i(x_i-x_0)=0$ a $\sum_{i}\lambda_i^2>0$ .

Teda $y=\Big(\alpha_0+\varepsilon\sum_{i=1}^m\lambda_i\Big)x_0+\sum_{i=1}^m\Big( \alpha_i-\varepsilon\lambda_i\Big)x_i$ kde $\varepsilon > 0$ .

Potiaľto ešte ok, ale dôkaz končí výrokom že
"pre dosť vysoké $\varepsilon$ dosiahneme, že aspoň jedno z čísel $\lambda_i$ sa vynuluje, čo je spor s minimálnosťou $m$ ."

Čo tam nevidím je to, že by sa niektoré z tých čísel malo vynulovať,
a nikde nie je spomenuté ani to, že by mali byť nenulové všetky,
tak mám z toho trochu chaos.

Vďaka za každú pomoc

Stýv · 02. 06. 2013 22:12

1) to znění věty nebude úplně dobře - nějak tam nevidím souvislost mezi $y$ a těmi $x_i$ . ta je vidět až v důkazu

2) řekl bych, že se nevynuluje $\lambda_i$ , ale $\alpha_i-\varepsilon\lambda_i$ (tedy $x_i$ bylo nadbytečné a $m$ nebylo minimální)

ajeto · 02. 06. 2013 22:35

↑ Stýv:

jasne taká hlúposť

áno, malo tam byť "taký výber, že $y=\sum_{i=0}^m\alpha_i x_i$ ...

vďaka

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2013 21:52

caratheodoryho veta

#2 02. 06. 2013 22:12

Re: caratheodoryho veta

#3 02. 06. 2013 22:35

Re: caratheodoryho veta

Zápatí