Matematické Fórum

ajeto · 03. 06. 2013 19:25

Dobrý večer,
chcem sa opýtať ako dokázať nasledujúce.

Nech $X,Y$ sú topologické priestory a nech $f:X\rightarrow Y$ je zobrazenie.
Nech pre každú sieť $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ na $X$ platí, že
ak $x_{\alpha}\rightarrow y$ , potom $f(x_\alpha)\rightarrow f(y)$ .
Dokážte, že potom $f$ je spojité.

Ďakujem

Rumburak · 04. 06. 2013 09:46

Zdravím. Důkaz zavisí na tom, jak byla definována spojitost.
A také bych kdyžtak poprosil o připomenutí definic pojmu "síť" a výroku $x_{\alpha}\rightarrow y$ ,
na které si vzpomínám už jen matně :-).

Brano · 04. 06. 2013 09:51

Tvrdenie ma byt, ze je spojita v bode $y$ .

Predpokladajme, ze nie je spojita v $y$ potom existuje okolie $V$ bodu $f(y)$ take, ze pre kazde okolie $U$ bodu $y$ je $f(U)\setminus V$ neprazdna teda exisuje $x_U\in U$ taka, ze $f(x_U)\not\in V$ .

System okoli bodu tvori usmernenu mnozinu, teda $(x_U)$ je siet pricom ocividne $x_U\to y$ a $f(x_U)\not\to f(y)$ co je spor s predpokladom.