Matematické Fórum

Ivvaa · 02. 06. 2013 20:58

Ahoj, mám větu: Nechť X je reálný normovaný prostor a $f_{0}$ je lineární ohraničený funkcionál definovaný v lineární varietě $X_{0} \subseteq X$ . Pak existuje lineární ohraničený funkcionál f definovaný v X tak, že f(x) = f0(x) pro $x \in X_{0}$ a platí $\parallel f\parallel_{X} = \parallel f_{0}\parallel _{X_{0}}$ .

No a v důkazu pak hnedka na začátku položím $c = \parallel f_{0}\parallel _{x_{0}}$ a pak definuji funkcionál $p(x) = c\parallel x\parallel pro x \in X.$ No a dál by mělo být zřejmý, že funkcionál je konečný a konvexní. Konvexní chápu, ale kde se bere konečný?

Rumburak

Ahoj.

Ten termín "ohraničený" lineární funkcionál je nutno vnímat v tom smyslu, že má pouze konečnou normu,
tedy nikoliv, že by byla ohraničená možina jeho funkčních hodnot (protože v takovém případě by jediným
ohraničeným l.f. byl funkcionál identicky rovný nule). Tvůj problém by mohl plynout z nesprávného
pochopení této definice.

"Konečný" funkcionál je podle mne každý, který nabývá pouze konečných hodnot, ať již je ohraničený
nebo ne. Je též možné, že je slovo "konečný" v důkaze použito omylem místo "ohraničený" .

Musel bych ten důkaz vidět celý, abych mohl odpovědět vyčerpávajícím způsobem.

Ivvaa · 03. 06. 2013 11:32

↑ Rumburak: celý důkaz je tady:

vztah 3.13 je toto: $\parallel f \parallel _{X} = \parallel f_{0}\parallel _{X_{0}}$

věta 3.13 je Hahn-Banachova věta: Nechť X je reálný lineární prostor a $X_{0}$ je jeho podprostor. Nechť dále p je konečný konvexní funkcionál v X a $f_{0}$ je lineární funkcionál v $X_{0}$ , přičemž $f_{0}(x) \le p(x) pro x \in X_{0}$ . Pak existuje lineární funkcionál f definovaný v X, který je prodloužením funkcionálu $f_{0}$ a který splňuje nerovnost $f(x) \le p(x) pro x \in X_{0}$ .

vztah 3.5: $f(x) \le p(x) pro x \in X_{0}$

Rumburak · 03. 06. 2013 11:55

↑ Ivvaa:

Pokud konečným funkcionálem míníme takový, který nabývá pouze konečných hodnot, pak skutečně $p$ je konečný funkcionál, neboť

1) $c := \parallel f_{0}\parallel _{X_{0}}$ je konečné číslo (protože $f_{0}$ je ohraničený l. f. v $X_{0}$ ),

2) pro libovolné $x \in X$ je $\parallel x \parallel$ konečné číslo ,

3) součin $c\parallel x \parallel$ dvou konečných čísel je konečné číslo. :-)

Nebo má snad pojem konečnosti funkcionálu jiný obsah, než jak jsem napsal ?

Ivvaa · 03. 06. 2013 13:37

↑ Rumburak: takže se dá brát ohraničený = konečný? to pak určitě jo...

Honza90 · 03. 06. 2013 13:58

↑ Rumburak:
Kde berete jistotu, že platí 2) ? Například prvek $x=(1,2,3,..,n,..)$ (uvažujeme-li nekonečně dimenzionální prostor) konečnou normu nemá.

Rumburak · 03. 06. 2013 16:22

↑ Honza90:

Jistotu beru z předpokladu, že $x \in X$ , kde $X$ je lineární normovaný prostor, k čemuž jsem si z dalšího kontextu domyslel,
že tato norma je značena $\parallel . \parallel$ (taková "licence" je ve funkcioální analýze běžná) .

Že na lineárním normovaném prostoru $(X , \parallel . \parallel)$ nabývá jemu příslušná norma $\parallel . \parallel$ pouze konečných (a sice nezáporných)
hodnot, je obsaženo v definici LNP resp. v definici normy na lin. prostoru.

Zamozřejmě, že si mohu zavést lineární prostor $Y$ a na něm funkci označenou $\parallel . \parallel$ , která bude nabývat i nekonečných hodnot,
ale pak už by nebylo možno říci, že by usp. dvojice $(Y , \parallel . \parallel)$ byla LNP. Ale mohlo by se stát, že by funkce $\parallel . \parallel_X$ vzniklá
zúžením funkce $\parallel . \parallel$ na nějaký podprostor $X \subset Y$ už splňovala definici normy na lin. postoru $X$ .

Pokud jsem něco napsal ne dosti srozumitelně, ptejte se. Případně rozveďte podrobněji Vámi uvedený příklad, tj. uveď te, o který
lin. prostor se v něm jedná a jak je definována Vámi zmiňovaná "norma".

Rumburak · 03. 06. 2013 17:17

↑ Ivvaa:

takže se dá brát ohraničený = konečný? to pak určitě jo...

Záleží na tom, jak máte tyto pojmy definovány.

Pokud jde o "konečnost" funkcionálu: Já jsem se s její definicí, striktně vzato, nesetkal a o jejím možném obsahu jsem vyslovil
pouhou doměnku převzatou z těch partií matematiky, kde je přípustné, aby funkce nabývající číselných hodnot nabývala i hodnot
nekonečných (teorie Lebesgueova integrálu, analýza v komplezním oboru).

Ohraničenost LINEÁRNÍHO funkcionálu podle mne znamená, že má konečnou normu (supremum z |f(x)| přes jednotkovou kouli),
což je ekvivalentní s jeho spojitostí.

Pokud by moje vidění těch definic bylo správné (funkcionální analysou jsem se už dlouho nezabýval a leccos bych si potřeboval
připomenout), pak každý lineární funkcionál je konečný, ale v prostorech nekonečné dimense platí, že ne každý lineární funkcionál
je spojitý a tedy ne každý je ohraničený.

Honza90 · 03. 06. 2013 18:12

↑ Rumburak:
Já bych se chtěl zeptat, odkud plyne tato nerovnost. Je-li $X$ NLP, $X_{0}\subset X$ a $f_{0}$ funkcionál definovaný na $X_{0}$ a $f$ je prodloužením $f_{0}$ na $X$ . Potom platí:
$||f||_{X}\ge ||f_{0}||_{X_{0}}$ respektive $||f||_{X}\ge ||f||_{X_{0}}$

Rumburak · 04. 06. 2013 09:38

↑ Honza90:
Měli bychom asi doplnit předpoklad, že $f$ je spojitý lineární funkcionál .
Nerovnost

(0) $||f||_{X}\ge ||f_{0}||_{X_{0}}$

plyne z definice normy spojitého lineárního funkcionálu:

(1) $||f||_{X} := \sup_{x \in X \wedge ||x|| \le 1}|f(x)|$

(nebo ekvivalentně $||f||_{X} := \sup_{x \in X \wedge ||x|| = 1}|f(x)|$ ) . Analogicky

$||f_0||_{X_0} := \sup_{x \in X_0 \wedge ||x|| \le 1}|f_0(x)|$ ,

tedy

(2) $||f_0||_{X_0} := \sup_{x \in X_0 \wedge ||x|| \le 1}|f(x)|$

Množina, přes kterou se "počítá" supremum, je v případě (1) větší než v případě (2) , protože $X \supset X_0$ .
Odtud plyne (0).

Brano · 04. 06. 2013 10:02 — Editoval Brano (04. 06. 2013 10:07)

Vo funkcionalke "ohraniceny"="spojity"
odaz na wiki
"ohraniceny" zrejme preto, ze ma ohranicene hodnoty na jednotkovej guli - co sa vyuzije na definovanie operatorovej normy.

Tu "konecnost" sme tu uz niekde diskutovali a dosli sme k nazoru, ze je to asi tak, ze to znamena "nenadobuda nekonecne hodnoty" - co asi autor chce specialne zdoraznit, lebo nekonecne hodnoty pri normach sa obcas povoluju.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2013 20:58

Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#2 03. 06. 2013 10:37 — Editoval Rumburak (03. 06. 2013 10:50)

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#3 03. 06. 2013 11:32

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#4 03. 06. 2013 11:55

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#5 03. 06. 2013 13:37

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#6 03. 06. 2013 13:58

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#7 03. 06. 2013 16:22

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#8 03. 06. 2013 17:17

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#9 03. 06. 2013 18:12

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#10 04. 06. 2013 09:38

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

#11 04. 06. 2013 10:02 — Editoval Brano (04. 06. 2013 10:07)

Re: Hanh-Banachova věta v normovaném tvaru - důkaz

Zápatí