Matematické Fórum

Zase až tak složité to není - tedy pokud se na mě neprojevil den v práci útlumem.

Jistě platí S=m*n. Jakýkoliv jiný obdélník poskládaný ze vytvořených čtverců bude mít jistě stejný obsah. To znamená, že musíš jen nalézt taková n_i, m_i, pro která platí, že n_i*m_i=S.

Tedy jinak řečeno najdeš si všechny dělitete čísla S a z něj vybereš jen ty dvojice, jejichž součin je opět S. Zná se to těžké? Vůbec ne - stačí ke každému děliteli n_i přiřadit m_i=S/n_i.

Zdánlivě je to neřešitelné, ale existuje něco jako Eulerova funkce , která vrátí k číslu n počet čísel menších než n s n nesoudělných. Počet dělitelů tak získáš jako:


Nakonec si ještě rozmysli, že když pojedeš po uspořádaných dělitelích, dostaneš vždy dvě dvojice stejné. Takže výslednou hodnotu musíš podělit dvěma. Výjimkou je případ, kdy bude existovat a takové, že S=a*a - to se pak takhle započítá jen jednou (to lze ošetřit např. zaokrouhlováním).

↑ Formol:
A neni to spis uloha: "najdi vsechny obdelniky na obrazku"?

Jestli jo,k reseni pomuze si uvedomit, kolik obdelniku ma levy horni roh ve ctverci 1,1 (tedy v levem hornim rohu puvodniho obdelnika)

↑ Mythic:

Jak jsem vymyslel - Ze zadání;-) Je-li obdélník rozdělen na m x n čtverců o rozměrech 1x1, má zřejmě obsah m*n. Tak nějak se mi zdálo, že ti jde o přeuspořádání těch čtverců na jiný obdélník (to je totiž mnohem zajímavější). Eulerovu funkci najdeš na Wikipedii.

_______________________
Jinak je možné, že se ptáš na úlohu mnohem jednodušší, totiž na to, kolik různých obdélníků můžeš to vzniklé čtvercové sítě nakreslit. Systematizování je jednoduché - představ si, že si stranu n necháš konstantní a m o jeden zkrátíš. Vzniklý obdélník můžeš jednou posunout, máš tedy dvě možnosti. Když zkrátíš stranu o dva dílky, máš tři možnosti,... až pro délku jeden dílek máš m možností.

Tedy celkem pro umístění "podobdélníku" s proměnnou stranou m máš 1+2+...+m = m*(1+m)/2 možností.

Zcela analogickou úvahu můžeš udělat pro stranu n. No a protože jde o změny "volně kombinovatelné", počet všech možných kombinací "každý s každým" získáš vynásobením:

(čili nuda, ne? ;-) )

↑ Mythic:
uvedeny vysledek je stejny jako uvadi Formol, protoze , pro m stejne..

K mymu "postupu": obdelniku, ktery maj levej horni roh ve ctverci 1,1 je m*n, postupne to spoctes pro ctverce i,j, kde i=1..m; j=1..n, takze vysledek je stejnej...

↑ Mythic:
Ta úvaha je naprosto stejná, jako když - možná si to tak lépe představíš - házíš dvěma kostkami. Na jedné máš šest možností, na druhé máš šest možností a počet dvojic dostaneš vynásobením (vlastně počet prvků "tabulky" všech kombinací). Tady je to stejné - obdélník ti určí dvě strany v zásadě nezávisle (zkus si to chvíli kreslit). Takže si můžeš nezávisle na sobě určit, přes které "sloupce" půjde jedna strana a přes které "řádky" druhá.