Matematické Fórum

aircrew · 03. 06. 2013 23:26

Ahoj, měl bych další dotaz týkající se parciálních derivací, tentokrát spíše teoretický. Počítal jsem derivace funkce $f(x,y)=arcsin\frac{|y|}{|x|+1}$ . Došel jsem k $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{-sgnx|y|}{((|x|+1)^2-y^2)^{1/2}.(|x|+1)}$ a ${}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{sgny}{((|x|+1)^2-y^2)^1/2}$ což by snad mělo být správně. Jaké body musím počítat zvlášť, pro které neplatí vypočítané derivace dle vzorce? Ve výsledkách píšou že obě platí pro (x,y) z definičního oboru mimo y=0. Proč je to tak? Proč nemusím vyřadit například i body kde x=0, kde se také mění předpis funkce?
Zajímalo by mě obecně, kde nejde počítat parciální derivace dle vzorců. Vím že je třeba to dělat tam, kde parciální derivace ze vzorců nejsou definované, kde ještě?
Moc děkuji

aircrew · 05. 06. 2013 10:55

↑ aircrew: Nevěděl by někdo prosím?

Rumburak

Ahoj.

Zatím jen v rychlosti:

Ano, pro počítání p.d. podle x pomocí vzorců o derivaci složené funkce musíme zde případ x = 0 vyloučit rovněž,
protože nejsou splněny předpoklady věty o derivaci slož. funkce.
Ale to ještě obecně nemusí znamenat, že ta p.d. celku neexistuje, pouze to znamená, že nemůžeme k jejímu výpočtu
použít zmíněnou větu. Je proto potřeba zkusit to ještě spočítat z definice p. d.

Ale nepřepočítával jsem to, takže nevím, zda uvedené výsledky jsou správně či ne.

Ještě se k tématu případně vrátím později.

EDIT.

Když počítáme p.d. podle x z definice, pomocí věty o střední hodnotě aplikovavé na funkci arcsin dostaneme

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\lim_{h \to 0}\frac{|y|}{(|x| + 1)\sqrt{(|x| + 1)-|y|)^2}} \cdot\frac{|x|-|x+h|}{h}$ .

Pro $y=0$ je tato limita rovna 0 nezávisle na $x$ (protože výraz za znakem limity je díky prvnímu zlomku identicky roven 0) .

Pro $y\ne 0$ máme dále

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{|y|}{(|x| + 1)\sqrt{(|x| + 1)-|y|)^2}}\lim_{h \to 0} \frac{|x|-|x+h|}{h}$ ,

kde limita na pravé straně existuje (a je rovna $-\mathrm{sgn}\,\, x$ ) , pouze když $x\ne 0$ .

Můžeme tedy říci, že $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ eixstuje vedle "triviálních" případů i v případě $x=y = 0$ (a je rovna 0),
avšak pro $x=0 , y \ne 0$ neexistuje.

Počítání derivace použitím její definice provádíme typicky tehdy, když to z nějakých důvodů nejde jednodušeji, například když
funkce mé nějakou "netradiční" konstrukci.

Vyšetřit by se mělo i chování funkce v hraničních bodech jejího def. oboru, je-li v nich funkce definována.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2013 23:26

Parciální derivace problémové body

#2 05. 06. 2013 10:55

Re: Parciální derivace problémové body

#3 05. 06. 2013 11:29 — Editoval Rumburak (05. 06. 2013 16:43)

Re: Parciální derivace problémové body

Zápatí