Matematické Fórum

Balcik.D · 03. 06. 2013 15:36

Továrna připravuje na příští měsíc produkci dvou sérií výrobků: Výrobek A a výrobek B. K dispozici má dva druhy materiálu: 90 tun bavlny a 80 tun vlny. V tabulce je dále uvedena spotřeba materiálu v tunách na jednu tunu produkce u obou sérií:

Druh Výrobek A Výrobek B

Bavlna 0,6 0,5
Vlna 0,4 0,5

Vykalkulovaný zisk je 15 000 Kč na jednu tunu produkce pro výrobek A a 12 000 Kč na jednu tunu produkce pro výrobek B.

Při jakém rozvržení produkce bude celkový zisk maximální?

-------------------------------------------------------------------------------------------

Vůbec nevím, jak do toho..
Děkuji za pomoc.

jelena · 03. 06. 2013 23:59

Zdravím,

půjde o celkem nenáročnou úlohu lineárního programování (řešení bych viděla graficky), podrobně je zpracováno v kapitole 3, 4, případně prohledej fórum, bylo toho více. Stačí tak na rozpracování? Děkuji.

Balcik.D · 05. 06. 2013 14:01

PROSÍM O KONTROLU:

Pokusím se naznačit, jak jsem tuto úlohu řešil:

nejprve určení funkce zisku a omezující podmínky:

$z=15000x+12000y$
$0,6x+0,5y\le 90$
$0,4x+0,5y\le 80$
$x,y\ge 0$

následně jsem si vypočítal průsečíky omezujících podmínek:
P1 = [0,180]
P2 = [150,0]

P3= [0,160]
P4= [200,0]

Ze ziskové funkce vyjádřím normovaný vektor v=(150,120)

Toto vše vnesu do grafu a vznikne průsečík 2 omezujících přímek, který tvoří optimalizační bod.
Vyčtu souřadnice z grafu nebo je vypočítám:

$0,6x+0,5y= 90$
$0,4x+0,5y= 80$
----------------------
$0,2x=10$
$x=50$

dopočítám y:
$y=120$

Tudíž optimální rozvržení produkce je : $50x+120y$

Výpočet zisku:
$z=12000*120+15000*50= 2190000$

jelena · 05. 06. 2013 19:40

↑ Balcik.D:

děkuji za přehledný návrh. Podmínky mám stejně. Když jsem zadala kontrolovat do WA (nebo zde lze kontrolovat) - musíš své podmínky do oken ještě doklepat. WA našel maximální podmínku pro bod (150, 0), který také máš v kandidátech.

Graf je tak (a také tak popisuješ). Pro nalezení maxima zakreslujeme rovnoběžné přímky dle podmínky $z=15000x+12000y$ do všech vrcholů polygonu - překontroluj, prosím, zda pro bod (150, 0) je tato přímka posunuta nejvíce napravo. Grafická metoda názorně zde. Ještě si to překontroluj, prosím.

Balcik.D · 05. 06. 2013 21:05

Momentalne nejsem na pc, ale dokazu zareagovat z patra. Podle me ten bod neni nejvic vpravo, ale me slo o vypocet optimalniho objemu produkce, coz muze byt vzhledem k 1 pruseciku jen prave tento prusecik. A stejne tak v rovine, ktera mi vysla z onech pruniku podminek a soucasne 1.kvadrantu, je pouze jeden vrchol, lezici na obou primkach podminek.

Nebo se mylim?

jelena · 06. 06. 2013 00:07

↑ Balcik.D:

ne bod napravo, ale přímka (stopa roviny) $z=15000x+12000y$ je nejvíce napravo, pokud jde bodem (150, 0). I dosazením hodnot x=150, y=0 se to dá prokázat.

Podle me ten bod neni nejvic vpravo, ale me slo o vypocet optimalniho objemu produkce, coz muze byt vzhledem k 1 pruseciku jen prave tento prusecik. A stejne tak v rovine, ktera mi vysla z onech pruniku podminek a soucasne 1.kvadrantu, je pouze jeden vrchol, lezici na obou primkach podminek.

Celá vyšrafovaná oblast splňuje podmínky (včetně hranice a všech vrcholu) a můžeš zakreslovat stopu roviny přes každý bod polygonu. Ovšem je ověřeno, že optimum (maximum zisku) hledáme na vrcholech. A zde vychází, že nejvíce se vyplatí pouze výroba A, bez zařazení B. Zkus ještě projít materiály a pojezdit s pravítkem po polygonu.

Už se shodujeme? Děkuji.

Balcik.D · 06. 06. 2013 08:39

Ano, shodujeme.

Nalezení vyšrafované oblasti, označení jejich hranic, vrcholů a současně zakreslení účelovou funkci (v našem případě zisk) taktéž není problém.
To se bavíme ale o čistě grafickém řešení.

Setkala jsi se třeba nebo je vhodné např. po nakreslení grafické metody provést i nějaké výpočetní operace? Jelikož tento typ příkladu budu mít ve zkoušce a tam nebývá čas na přesné nakreslení grafu, tak pro kontrolu.
Myslíš, že je vhodné vypočítávat průsečík omezujících přímek (jako jsem předvedl v příkladě) a pak popř. dosadit do účelové funkce vrcholy, které leží na vyšrafované rovině (na průniku rovin s I.kvandrantem)?

Jinak s tímto typem příkladu jsem se setkal poprvé a musím říct, že je to docela zajímavý typ příkladu :-)))

jelena · 06. 06. 2013 12:48

↑ Balcik.D:

děkuji, to je dobře.

graficky bychom stejně nehledali přesné hodnoty (je to jen náčrt situace) - pro zrychlení náčrtu je dobré si zvyknout zakreslovat přímky pomocí průsečíků s osami.
Hodnoty jednotlivých průsečíků hledáme výpočtem. Situace na náčrtu musí cca výpočtu odpovídat, ale rychlejší a přesnější, než kreslení, je dosazování hodnot všech průsečíků omezujících přímek (co tvoří vrcholy polygonu) do účelové funkce, kterou mám optimalizovat. Zde je důležité pomocí grafu (nebo jinak) vyloučit průsečíky, co jsou za oblasti, aby nedošlo k použití zbytečného bodu.

Speciální situace mohou nastat jak je uvedeno v příkladech 2, 3 Potom je dobré si vybavit poznatky z lineárních funkcí a z analytiky (přímky) a nacvičit si, že účelová přímka půjde po jedné ze stran polygonu (nekonečně mnoho řešení), pokud normálový vektor v zadání účelové přímky je lineárně závislý (je násobkem) s normálovým vektorem některé omezující přímky.

Také se dají najít pomůcky pro stanovení, že řešení nebude (hlavně z normálových vektorů omezujících přímek), ale zde je asi rychlejší přímo zakreslení.

Jinak s tímto typem příkladu jsem se setkal poprvé a musím říct, že je to docela zajímavý typ příkladu :-)))

:-) je takový prakticky - při rozhodování zda hranolky nebo plátky vždy vyhrají vařené brambory, protože jsou jednoznačně zdravější a pohodlnější na přípravu. Ať se vede u zkoušky.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2013 15:36

Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#2 03. 06. 2013 23:59

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#3 05. 06. 2013 14:01

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#4 05. 06. 2013 19:40

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#5 05. 06. 2013 21:05

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#6 06. 06. 2013 00:07

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#7 06. 06. 2013 08:39

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

#8 06. 06. 2013 12:48

Re: Slovní úloha (výrobní podnik - zisk)

Zápatí