Matematické Fórum

e.b. · 06. 06. 2013 21:43

prosím o radu v tomto příkladu:
počet řešení na intervalu $x\in (0;2\pi>$ , kdy $2cos^{2}x+\sqrt{2}sinx=2$ je?

odpověď je: 4
Děkuji

bejf · 06. 06. 2013 21:47

↑ e.b.:
$2 \cos^{2}x+\sqrt{2} \sin x=2$
$2(1-\sin ^2 x)+ \sqrt{2} \sin x=2$

Blackflower

↑ e.b.: Ahoj,
skúsime si rovnicu trochu upraviť:
$2\cos^2x+\sqrt{2}\sin x-2=0$
$\sqrt{2}(1-\sin^2x)+\sin x-\sqrt{2}=0$
$\sqrt{2}-\sqrt{2}\sin^2x+\sin x-\sqrt{2}=0$
$-\sqrt{2}\sin^2x+\sin x=0$
$\sin x(-\sqrt{2}\sin x+1)=0$
Vieš, ako ďalej?

(Dúfam, že tam nie je žiadna chyba, radšej si to ešte po sebe skontrolujem.)

EDIT: zase raz ma niekto predbehol :)

bejf · 06. 06. 2013 21:57

↑ Blackflower:
Ahoj, velmi nerad jsem předběhnul. :)
Ale asi mi trošku uniká, jak jsi dokázala dospět k druhému kroku? :D

Blackflower

↑ bejf: Vydelila som celú rovnicu odmocninou z dvoch... ale môže tam byť nejaká chyba, ešte to radšej skontrolujem. :D
EDIT: neviem, zdá sa mi to správne :)

bejf · 06. 06. 2013 22:08

↑ Blackflower:
Jo aha, já to tady tak studuju a pořád nevím. :D To máš ale dobře podle mě. Ten součinový tvar vede ke stejnému výsledku jako můj postup. :)

e.b. · 06. 06. 2013 22:13

↑ bejf:
zkusila jsem to a tedy vychází mi:
2=2
$sin^{2}x=-1$ .... jak dál?
$sinx=\frac{2}{\sqrt{2}}=>\frac{\pi }{4}$

je to správně?

bejf · 06. 06. 2013 22:19

↑ e.b.:
Bohužel nemáš. V té rovnici se vytýká. Navážu na svůj postup, ze kterého bys měla dostat
$2-2 \sin^2 x+\sqrt{2} \sin x=2$ zde máme na obou stranách kladné dvojky, ty lze odečíst a dostaneme
$-2 \sin^2 x+\sqrt{2} \sin x=0$ vytkneme
$\sin x (-2 \sin x+\sqrt{2})=0$

Vytknutím $\sin x$ před závorku jsme dostali rovnici do součinového tvaru. Rovnost říká, že levá strana se má rovnat pravé.
A levá strana bude rovna nule právě tehdy, když aspoň jeden z těch dvou činitelů bude roven nule. Takže řešíme
$\sin x=0$ 2 kořeny
$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ taky 2 kořeny