Matematické Fórum

duass · 07. 06. 2013 20:13

Věděl by někdo jak vyřešit, nebo aspoň začít tuhle integrálu?
$\int_{4}^{+\infty }arcsin(2/x)dx$
díky

dejviddejvid · 07. 06. 2013 20:29

Ahoj,

nejprve si dej substituci za ten integrand např. $t = 2/x$ , toto musíš zderivovat a vyjádřit dx jako funkci dt tzn. $dt= \frac{-2}{x^2}dx$ --> dx = ....

Nezapomeň transformovat meze kvůli substituci. No a potom zintegruješ $\int arcsin t dt$ s příslušnými mezemi. Po zintegrování, až budeš mít tzv. primitivní funkci, se vrátíš k původním proměnným ze substituce a použiješ ten "vzorec" pro výpočet určitého integrálu (horní mez mínus dolní mez).

dejviddejvid · 07. 06. 2013 20:34

Ještě jsem si vzpomněl, že po té substituci vyjde nějaký zlomek a ten se bude muset řešit ještě metodou perpartes. Vzorec někde určitě najdeš. Derivovat budeš arcussinus a integrovat to druhé.

Brzls · 07. 06. 2013 20:46

Zdravím
Jiný způsob je s per partes začít. Pak dostaneš integrál ve tvaru zlomku s odmocninou (po upravách se to zjednoduší), nicméně ve tvaru který se často taky uvádí v tabulkách, nebot ho lze chápat jako derivaci inverzní funkce k hyperbolikcému cosinu. Pokud tyto vzorce znáš tak není problém a integrace je poměrně rychlá a není potřeba přemýšlet nad tím jak se změní meze, protože substituci ani nepoužiješ.

duass · 08. 06. 2013 13:32 — Editoval duass (08. 06. 2013 13:34)

Díky za odpovědi.

Brzls: Já právě nejsem žádnej odborník a v tomhle se moc nevyznám.

Udělal jsem to psal dejviddejvid. Po per partes mi vyšlo tohle $-2[-\frac{1}{t}\cdot arcsint]-2\int_{...}^{...}\frac{1}{t\cdot \sqrt{1-t^{2}}}dt$
,hranatá závorka a integrál mají ty transformované meze.
Pak jsem si zlomek rozdělil na $\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}$ a zintegroval jsem to na $-2[-\frac{x}{2}\cdot arcsin\frac{2}{x}]-2[ln\frac{2}{x}]-2[arcsin\frac{2}{x}]$
,s tim, že meze jsou +∞ a 4.
+∞ mi ale nejde dosadit do toho logaritmu, tak nevim, jestli je to správně. Poraďte mi prosím někdo, kde mám chybu. Díky všem.

LukasM · 08. 06. 2013 13:54

↑ duass:
Opravdu si na VŠ myslíš, že $\frac{1}{t\cdot \sqrt{1-t^{2}}}=\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}$ ?

Pokud chceš jít touhle cestou (nevím jestli to co navrhuje Brlzc není lepší, nepočítal jsem to), tak ten integrál bude potřeba počítat nějakou další substitucí, snad $u^2=1-t^2$ . Takhle to rozdělit opravdu, ale opravdu nejde.

duass · 09. 06. 2013 13:21

Jo sorry za ten rozklad. Stane se no :(

Zkusil jsem to znovu pomocí per partes.
$\int_{4}^{+\infty }1\cdot arcsin\frac{2}{x}dx$ $u'=1$ $u=x$ $v=arcsin\frac{2}{x}$ $v'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}\cdot \frac{-2}{x^{2}}$
$=[x\cdot arcsin\frac{2}{x}]+2\int_{4}^{+\infty }\frac{dx}{x\cdot \sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}$ , hranatá závorka má meze +∞ a 4.
$=2-\frac{2}{3}\pi +2\int_{4}^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4}}$
Je to správně? A jestli ano, jak mám pokračovat?

Brzls · 09. 06. 2013 16:12 — Editoval Brzls (09. 06. 2013 16:18)

↑ duass:
Právě ten polsední integrál je dobrý si zapamatovat

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=ln(\sqrt{x^{2}-1}+x)+C= (arccosh(x)+C)$

Tedy po jednoduché substituci z hlavy
$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4}}=ln(\sqrt{x^{2}-4}+x)+C$

Z toho plyne že integrál nekonverguje

duass · 09. 06. 2013 16:45

↑ Brzls:
Skvělý, díky.
Ten poslední integrál znám. Neudělal jsem ale ten krok, protože mi tam pak nešlo dosadit +∞.
Co znamená, že nekonverguje?

Brzls · 09. 06. 2013 16:51

↑ duass:
To znamená že ten integrál má hodnotu rostoucí nade všechny meze
Konvergentní nevlastní integrál - má konečnou hodnotu (např. 2 5 1000 atd.)
Nekonvergentní nevlastní integrál - má hodnotu mínus nekonečno, plus nekonečno, nebo nemá smysl se o jeho hodnotě bavit (osciluje)

duass · 09. 06. 2013 17:07 — Editoval duass (09. 06. 2013 17:08)

↑ Brzls:
Takže výsledek integrálu je -∞?

Brzls · 09. 06. 2013 18:47

↑ duass:
Proč mínus? výsledek je +∞

duass · 09. 06. 2013 20:33

↑ Brzls:
OK fakt díky.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2013 20:13

Integral arcsin(2/x)

#2 07. 06. 2013 20:29

Re: Integral arcsin(2/x)

#3 07. 06. 2013 20:34

Re: Integral arcsin(2/x)

#4 07. 06. 2013 20:46

Re: Integral arcsin(2/x)

#5 08. 06. 2013 13:32 — Editoval duass (08. 06. 2013 13:34)

Re: Integral arcsin(2/x)

#6 08. 06. 2013 13:54

Re: Integral arcsin(2/x)

#7 09. 06. 2013 13:21

Re: Integral arcsin(2/x)

#8 09. 06. 2013 16:12 — Editoval Brzls (09. 06. 2013 16:18)

Re: Integral arcsin(2/x)

#9 09. 06. 2013 16:45

Re: Integral arcsin(2/x)

#10 09. 06. 2013 16:51

Re: Integral arcsin(2/x)

#11 09. 06. 2013 17:07 — Editoval duass (09. 06. 2013 17:08)

Re: Integral arcsin(2/x)

#12 09. 06. 2013 18:47

Re: Integral arcsin(2/x)

#13 09. 06. 2013 20:33

Re: Integral arcsin(2/x)

Zápatí