Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit s jedním mini-důkazem...

Je to ekvivalence:
(1) Matice tuhosti $\mathbf{K}$ tělesa je singulární právě tehdy, když existuje takový vektor posuvů $\mathbf{u}_r \neq \mathbf{0}$ , při kterém má těleso nulovou deformační (potenciální) energii:
$\mathbf{K} \text{ singularni}\quad \Leftrightarrow \quad \exists \mathbf{u}_r \neq \mathbf{0}: E_p=\frac12 \mathbf{u}_r^T\mathbf{K}\mathbf{u}_r=0$ .

Napadlo mě to přepsat, to by snad mělo jít...
(2) Matice tuhosti $\mathbf{K}$ tělesa je regulární právě tehdy, když každý vektor posuvů $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ je spojen s kladnou deformační energií:
$\mathbf{K} \text{ regularni}\quad \Leftrightarrow \quad E_p=\frac12 \mathbf{u}^T\mathbf{K}\mathbf{u}>0,\quad \forall \mathbf{u}\neq\mathbf{0}$ .

Tu verzi (2) jsem zkusil dokázat přes:
Pro regulární matice platí:
$\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{0}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{u}=\mathbf{0}$ .
Tahle rovnice se zleva vynásobí $\mathbf{u}^T$ , což vede přímo na (2)
$\mathbf{u}^T\mathbf{K} \mathbf{u} =0\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{u}=\mathbf{0}$ .

Jde to takhle? A jde to nějak jednodušeji?

EDIT: Už to mám, jde samozřejmě o definici pojmu pozitivně definitní matice, takže implikace platí jen v jednom směru.

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2013 10:25 — Editoval FliegenderZirkus (08. 06. 2013 13:25)

Důkaz singularity matice

Zápatí