Matematické Fórum

drabi · 07. 06. 2013 16:48

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s tímto příkladem.

Číslo $a \in \mathcal{R}$ nazveme konstruovatelné, pokud, je-li dána úsečka délky 1, lze zkonstruovat
pravítkem a kružítkem úsečku délky a.

Je číslo $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}$ konstruovatelné? Stručně zdůvodněte.

Moc si s tím nevím rady. Protože platí toto, můžu úlohu převést na problém, jestli je konstruovatelné číslo
$\sqrt{3\sqrt{2}-3}$ .

To bych měla nějak převést na větu 6.1, ale pořádně nevím jak.

Mohl by mě prosím někdo navést?
Díky

Rumburak

↑ drabi:

Ahoj. Není to těžké.

1. Pomocí jednotkové úsečky definující číslo 1 sestrojíme čísla 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1.

2. Pomocí Pathagorovy věty sestrojíme $\sqrt{2}:=\sqrt{1^2 + 1^2}$ , $\sqrt{3}:=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}$ a snadno též $1 +\sqrt{2}$ .

3. Pomocí třeba některé z Euklidových vět sestrojíme $\sqrt{1+ \sqrt{2}} := \sqrt{1(1+ \sqrt{2})}$ .

4. Jako čtvrtou geometrickou úměrnou sestrojíme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}} := \frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}$ .

Sand je jasné, v jakém významu jsem použil znak ":=" .

drabi · 07. 06. 2013 17:09

↑ Rumburak:
Ahoj, děkuju za reakci.
Ono tohle mi je nějak jasné, ale nevím, jak to zapsat v řeči algebry. Omlouvám se, že jsem se nepřesně vyjádřila.

Jde o tu větu 6.1, a já moc nevím, jak to na to nasadit:(

Rumburak

↑ drabi:
Tam patrně půjde o to pochopit, co je to $\mathbb{K}(\sqrt{r})$ .
Ale v tom neporadím, tyhle algebraické konstrukce mi nikda nebyly úplně jasné a rychle jsem je
(ke své škodš) zapomínal.

kexixex · 08. 06. 2013 12:26

↑ drabi:
Ahoj, myslim, ze jde o to, nalezt posloupnost rozsireni puvodniho telesa (to je $\mathbb{Q}$ ), coz podle Rumburakova prispevku provedes takhle:
1. $\mathbb{Q}:=K_{0}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}):=K_{1}$
2. $K_{1}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):=K_{2}$ (tohle urcite plati)
3. $K_{2}\subset K_{2}(\sqrt{1+\sqrt{2}}):=K_{3}$ , coz plati, minimalni polynom $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ nad $K_{2}$ by mel byt $x^{2}-1-\sqrt{2}$

No a v poslednim telese $K_{3}$ je i hledane cislo, protoze $K_{3}$ je teleso, takze podle vety 6.1 je $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}$ konstruovatelne.

Ale myslim, ze Rumburakuv zapis by mel uplne stacit (Stanovskymu)