Matematické Fórum

e.b. · 08. 06. 2013 15:31

Pomohl by mi někdo prosím s objasněním imaginárních čísel?

Absolutní hodnota je?
$z=\frac{4+2i}{2-1}$
po vypočítání hodnoty mi vyšlo, že $z=\frac{6}{5}$
a podle vzorečku pro absolutní hodnotu: $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ mi vyšlo $|z|=\frac{6}{5}$
ale podle výsledků je to špatně. Výsledek je totiž množina od $<2,4)$

můžete mi prosím vysvětlit jak se to má? I vzoreček $z=a+bi$ (a, b jsou reálná čísla a i je imaginární?) Nevím jestli to chápu dobře. Děkuji

Hanis · 08. 06. 2013 15:44

Ahoj,
něco je špatně, zřejmě zadání, protože absolutní hodnota $|z|=2\sqrt{5}$

bejf · 08. 06. 2013 15:45 — Editoval bejf (08. 06. 2013 15:48)

↑ e.b.:
Předpokládám že ve jmenovateli jsi udělala omylem chybu a má být $2-i$ . Pokud jsi tam chybu neudělala, pak je to tak jak píše kolega.
$|z|=\left | \frac{4+2i}{2-i}\right | =\frac{|4+2i|}{|2-i|}=\frac{\sqrt{4^2+2^2}}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$

Hanis · 08. 06. 2013 15:51

A za předpokladu, že ↑ bejf: předpokládá správně a máš na výběr několik intervalů a ptají se, ve kterém z nich leží absolutní hodnota z, je interval <2,4) správná odpověď.

e.b. · 08. 06. 2013 15:53

↑ bejf:
joo, špatně jsme přepsala znamínko. Už mi vyšlo $2$ !
Děkuju.
A jak tedy s tím "pojmenováním" ?
když mám třeba příklad $z=\frac{1-3i}{i}$ , tak, která je ta imaginární část, a která je ta reálná?

bejf · 08. 06. 2013 15:58 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:02)

↑ e.b.:
Z komplexního čísla $1-3i$ je jednička reálná část a $3$ imaginární část.
A u komplexního čísla $i$ je ryze imaginární, protože jeho reálná část je 0 a ve skutečnosti je to komplexní číslo $0+i$ , ale píše se jen $i$ (imaginární část je 1).
Stejně tak na každé reálné číslo lze pohlížet jako na komplexní číslo s nulovou imaginární části, tedy třeba jednička v reálných číslech je to samé, jako $1+0i$ v komplexních číslech.

e.b. · 08. 06. 2013 16:18

↑ bejf:
stále to nechápu :/
i když si vezmu dva odlišné příklady:
1. $z=\frac{1-3i}{i}$
2. $z=\frac{1+4i}{i}$
tak u obou je výsledkem imaginární části komplexního čísla $-1$

bejf · 08. 06. 2013 16:25 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:37)

↑ e.b.:
Protože u těchto dvou příkladů se dělí dvě komplexní čísla. Při dělení komplexních čísel se celý zlomek násobí komplexně sdruženým číslem ke komplexnímu číslu ve jmenovateli.
Komplexně sdružené číslo ke komplexnímu číslu $i$ je $-i$ . Prostě komplexně sdružené číslo má obráceně znaménko před imaginární částí.
Tedy když budeš mít komplexní číslo $1+i$ , tak k němu je komplexně sdružené $1-i$ .
A platí to i naopak, že ke komplexnímu číslu $1-i$ je komplexně sdružené $1+i$ .

1)
$z=\frac{1-3i}{i}=\frac{(1-3i)(-i)}{(i)(-i)}=\frac{-3+i}{-i^2}=-3-i$ zde je imaginární část opravdu -1.

2)
$z=\frac{1+4i}{i}==\frac{(1+4i)(-i)}{(i)(-i)}=\frac{4-i}{-i^2}=4-i$ opět imaginární část rovna -1.

e.b. · 08. 06. 2013 16:28

↑ bejf:
Aha!
už je mi to jasnější. Takže pokaždé si musím výraz upravit a potom teprve zjišťuji jeho reálnou a imaginární část.
Moc děkuju!

bejf · 08. 06. 2013 16:34

↑ e.b.:
Pokud budeš mít v zadání příklad v podílu, tak ano. Potřebuješ ten výraz dostat do "základního tvaru" $a+bi$ .

creptree · 08. 06. 2013 16:48

sorry nějak mi to nechce uploadnout obrázky, tak dám odkazy

jak vypočítat tohle

http://kbp.vse.cz/testy/imgs/ma1_html_6a3bb5c9.gif
http://kbp.vse.cz/testy/imgs/ma1_html_m4fa8305f.gif

Díky

e.b. · 08. 06. 2013 17:05 — Editoval e.b. (08. 06. 2013 17:08)

↑ creptree:
to první musíš vynásobit sdruženým číslem jmenovatele takže: $z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{1+2i+i^{2}}{1-i^{2}}$ a to se dá upravit na: $\frac{1+2i+i^{2}}{1-i^{2}}=\frac{2i}{2}$

bejf · 08. 06. 2013 17:13

↑ creptree:
Pro svůj dotaz by sis měl založit vlastní téma, ale vyjímečně poradím.
$(-1-i)^{16}=\left [ (-1-i)^2 \right ]^8=(1+2i+i^2)^8=(2i)^8=2^8\cdot i^8=2^8=256$

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2013 15:31

komplexní čísla

#2 08. 06. 2013 15:44

Re: komplexní čísla

#3 08. 06. 2013 15:45 — Editoval bejf (08. 06. 2013 15:48)

Re: komplexní čísla

#4 08. 06. 2013 15:51

Re: komplexní čísla

#5 08. 06. 2013 15:53

Re: komplexní čísla

#6 08. 06. 2013 15:58 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:02)

Re: komplexní čísla

#7 08. 06. 2013 16:18

Re: komplexní čísla

#8 08. 06. 2013 16:25 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:37)

Re: komplexní čísla

#9 08. 06. 2013 16:28

Re: komplexní čísla

#10 08. 06. 2013 16:34

Re: komplexní čísla

#11 08. 06. 2013 16:48

Re: komplexní čísla

#12 08. 06. 2013 17:05 — Editoval e.b. (08. 06. 2013 17:08)

Re: komplexní čísla

#13 08. 06. 2013 17:13

Re: komplexní čísla

Zápatí