Matematické Fórum

Lukinno

Zdravím,

potřeboval bych poradit s řešením exponenciální rovnice s odmocninami. Zde je zadání:

$\sqrt[4]{4^{x}}\cdot \sqrt[3]{2^{x-3}}= \sqrt[6]{16}$

Můj postup:

$4^{\frac{x}{4}}\cdot 2^{\frac{x-3}{3}}= 16^{\frac{1}{6}}$

$2^{\frac{2x}{4}}\cdot 2^{\frac{x-3}{3}}= 2^{\frac{4}{6}}$

$2^{\frac{6x+4x-12}{12}}=2^{\frac{4}{6}}$

Zde se dostanu k tomu že základy mám stejné, tak tedy musím vypočítat exponenty:

$\frac{6x+4x-12}{12}=\frac{4}{6}$

$\frac{10x-12}{12}=\frac{4}{6}$

U posledního kroku se zaseknu, jelikož mi není jasné jak vypočítat tento zlomek (a je mi to velice trapné protože to není ani učivo SŠ)

Jde mi vlasteně o to, jestli tuto rovnici řeším dobře až po krok který mi není jasný, a jak vypočítám ten zlomek. Předem mnohokrát děkuji! L.

bejf · 08. 06. 2013 16:30 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:33)

↑ Lukinno:
Řešíš dobře. Poslední rovnici převeď na společného jmenovatele, zbavíš se tak zlomku a dořešíš lineární rovnici.

Výsledek pro kontrolu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lukinno

Aha, a já v tom hledal nějaké složitosti.

$\frac{10x-12}{12}=\frac{8}{12}$

$10x-12 = 8$

$x= 2$

Takže takto?

Edit: Ok, Děkuji moc! Vyřešeno.

bejf · 08. 06. 2013 16:40

↑ Lukinno:
Ano. Za málo. Jen prosím označ téma za vyřešené, děkuji.

Lukinno · 08. 06. 2013 16:45

Hotovo. Já děkuji.

Lukinno · 09. 06. 2013 21:21

Dobrý večer, mám další nejasnost... Zde je zadání:

$\frac{1}{3^{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt[6]{27^{3-3x}}\cdot (\frac{1}{9})^{x+3}$

S touto rovnicí si jaksi nevím rady, prosím mohl by mi zde někdo napsat postup jak na to? Celý dnešek jakž takž počítám exponenciální rovnice, jelikož zítra mám jít na přezkoušení kvůli známce a nějak z toho už asi blbnu. Děkuji moc. L.

bismarck

Použi:
$\sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}\\ \frac{1}{a^{m}}=a^{-m}\\ a^{s}\cdot a^{r}=a^{s+r}$

$\frac{1}{3^{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt[6]{27^{3-3x}}\cdot (\frac{1}{9})^{x+3}\\ 3^{-x}=3^{-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{3(3-3x)}{6}}\cdot 3^{-2(x+3)}$

Lukinno · 09. 06. 2013 21:39

Děkuji za ty pravidla! :-)

Mohl bych ještě poprosit o to zpočítání toho exponentu? Jde mi hlavně o ten krok když se převadí neznámá na jednu stranu, nějak mi to celé není jasné. Mám v tom mezery :(

bismarck

$\frac{1}{3^{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt[6]{27^{3-3x}}\cdot (\frac{1}{9})^{x+3}\\ 3^{-x}=3^{-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{3(3-3x)}{6}}\cdot 3^{-2(x+3)}\\ 3^{-x}=3^{-\frac{1}{2}+{\frac{3(3-3x)}{6}}+(-2(x+3))}\\ -x=-\frac{1}{2}+\frac{3-3x}{2}-2x-6\\ -2x=-1+3-3x-4x-12\\ 5x=-10\\ x=-2$

$K=\{-2\}$

Tých pravidiel je viac:
$(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}\\ \frac{a^{s}}{a^{r}}=a^{r-s}$

Ďalšie

Lukinno · 09. 06. 2013 21:47

Děkuji moc! Prozatím uzavírám, kdyby něco zase otevřu. L.

Lukinno · 09. 06. 2013 22:16

$0,25\cdot (\frac{1}{4})^{2x}=1$

Můj postup:

$2^{-2}\cdot 2^{-2(2x)}=1$

$2^{-2}\cdot 2^{-4x}=1$

Jak dosáhnu toho abych měl na obou stranách stejné základy?

bismarck

Postup máš dobrý,
$2^{0}=1$

$a^{0}=1$ ak $a\in R-\{0\}$

Lukinno · 09. 06. 2013 22:18

Jsem to ale vůl. Děkuji.

Lukinno · 09. 06. 2013 22:43

Už jsem tu zas. Počítám příklady které mi nešli.

Ať počítám jak počítám, nemohu přijít na výsledek...

$\frac{81}{16}=(\frac{2}{3})^{x}\cdot (\frac{9}{4})^{x+1}$

bismarck

$\frac{81}{16}=(\frac{2}{3})^{x}\cdot (\frac{9}{4})^{x+1}\\ (\frac{3}{2})^{4}=(\frac{3}{2})^{-x}\cdot (\frac{3}{2})^{2(x+1)}\\ 4=-x+2x+2\\ x=2$

Lukinno · 12. 06. 2013 21:08

Zadání:

$2^{2x}\cdot 5^{x}-2^{2x-1}\cdot 5^{x+1}=-600$

Mohl bych poprosit o postup vypočítání? Jsem tam z toho vytýkání nějaký celý rozčarovaný. Děkuji

bismarck · 12. 06. 2013 21:16

$2^{2x}\cdot 5^{x}-2^{2x-1}\cdot 5^{x+1}=-600\\ 2^{2x}\cdot 5^{x}(1-2^{-1}\cdot 5)=-600\\ 4^{x}\cdot 5^{x}(-1,5)=-600\\ 20^{x}=400\\ 20^{x}=20^{2}\\ x=2$

Lukinno

Děkuji. Mám otázečku:

$2^{x}+2^{x+1} = 2^{2x+1}$

Je to část logaritmické rovnice. Vím že když se základy násobí, tak se exponenty sčítají. Zde platí to samé?

bismarck

↑ Lukinno:

Nie je to logaritmická rovnica. V rovnici, ktorej sa neznáma logaritmuje alebo je základom logaritmu, taká to rovnica je logaritmická. Je to exponenciálna rovnica, neznáma je v exponente.
Ekvivalentnými úpravami môžeš upraviť rovnicu a riešiť pomocou logaritmu.

$log(2^{x}+2^{x+1}) = log(2^{2x+1})$
$log(a+b)$ - nevieme rozložiť na súčin ani na nič iné

Riešenie (najrýchlejšie, najjednoduchšie):

$2^{x}+2^{x+1} = 2^{2x+1}\\ 2^{x}(1+2) = 2^{2x+1}$

Teraz môžeš použiť logaritmus. :)

Lukinno · 12. 06. 2013 22:18

$2\cdot 2^{x\cdot 8=\frac{2^{x}+2^{x+1}}{8}}$

$2\cdot 2^{x}\cdot 2^{3}=\frac{2^{x}+2^{x+1}}{2^{3}}$

$2^{1+x+3}=2^{2x+1-3}$

zde je celá rovnice, jen mi není jasná pravá strana u 1. kroku :-)

bismarck · 12. 06. 2013 22:31

Takto vyzerá rovnica ?
$2\cdot 2^{x} \cdot 8=\frac{2^{x}+2^{x+1}}{8}$

Lukinno

Ano, to jsem popletl. Omlouvám se.

bismarck · 12. 06. 2013 22:44

$2^{x} \cdot 2^{4}=\frac{2^{x}+2^{x+1}}{2^{3}}\\ 2^{x} \cdot 2^{4+3}=2^{x}+2^{x+1}\\ 2^{x} \cdot 2^{7}=2^{x}(1+2)\\ x+7=x+log_{2}(3)\\ K=\emptyset$

Lukinno · 12. 06. 2013 22:45

příklad máme zadaný od učitele a výsledek je:

$x=6$

bismarck

Namiesto + má byť krát, potom vyjde 6

$2^{x} \cdot 2^{4}=\frac{2^{x}\cdot 2^{x+1}}{2^{3}}\\ 2^{x+4}=2^{x+x+1-3}$

nerozumieš tomuto kroku
$\frac{2^{x}\cdot 2^{x+1}}{2^{3}}=2^{x+x+1-3}$
použiješ:
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}\\ (\frac{a^{r}}{a^{s}})=a^{r-s}$

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2013 16:21 — Editoval Lukinno (08. 06. 2013 16:22)

Exponenciální rovnice s odmocninami

#2 08. 06. 2013 16:30 — Editoval bejf (08. 06. 2013 16:33)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#3 08. 06. 2013 16:31 — Editoval Lukinno (08. 06. 2013 16:35)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#4 08. 06. 2013 16:40

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#5 08. 06. 2013 16:45

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#6 09. 06. 2013 21:21

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#7 09. 06. 2013 21:27 — Editoval bismarck (09. 06. 2013 21:30)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#8 09. 06. 2013 21:39

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#9 09. 06. 2013 21:44 — Editoval bismarck (09. 06. 2013 21:51)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#10 09. 06. 2013 21:47

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#11 09. 06. 2013 22:16

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#12 09. 06. 2013 22:16 — Editoval bismarck (09. 06. 2013 22:18)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#13 09. 06. 2013 22:18

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#14 09. 06. 2013 22:43

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#15 09. 06. 2013 23:35 — Editoval bismarck (09. 06. 2013 23:36)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#16 12. 06. 2013 21:08

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#17 12. 06. 2013 21:16

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#18 12. 06. 2013 21:58 — Editoval Lukinno (12. 06. 2013 22:01)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#19 12. 06. 2013 22:13 — Editoval bismarck (12. 06. 2013 22:14)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#20 12. 06. 2013 22:18

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#21 12. 06. 2013 22:31

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#22 12. 06. 2013 22:38 — Editoval Lukinno (12. 06. 2013 22:42)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#23 12. 06. 2013 22:44

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#24 12. 06. 2013 22:45

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

#25 12. 06. 2013 22:49 — Editoval bismarck (12. 06. 2013 23:01)

Re: Exponenciální rovnice s odmocninami

Zápatí