Matematické Fórum

cutrongxoay

Zdravim

Urcete hodnoty parametru $a,b$ tak, aby primka $p=[a-t;1+bt;2-2t]$ byla s rovinou $\varrho :x+2y-z-10=0$

a) ruznobezna
b) lezela v rovine $\varrho$
c) rovnobezna a nelezela v rovine $\varrho$

Mohli byste mi prosim ukazat, jak na to? Nejak to v tom nevidim. Uz v a) nevim, co mam udelat, vim maximalne, ze smernice by nemely byt stejne..
Diky

smajdalf

Zdravím.

a) pokud má být přímka různoběžná s rovinou, vypadá to asi takto:

To znamená, že mají společný pouze jediný bod X.
A také to znamená, jak si říkal, že směrové vektory nesmí být lineárně závisle (tedy nesmí mít stejný směr).
Jinými slovy to znamená, že směrový vektor $\overrightarrow{s_p}$ přímky a normálový vektor $\overrightarrow{n_\varrho }$ roviny nesmí být na sebe kolmé.
Pokud jsou dva vektory na sebe kolmé, pak jejich skalární součin je roven nule.
V našem případě tedy chceme, aby jeho hodnota byla různá od nuly.

Aspoň doufám, že tady nemelu blbiny :-D

Takže směrový vektor přímky je $\overrightarrow{s_p}=(-1;b;-2)$ a normálový roviny $\overrightarrow{n_\varrho}=(0;2;-1)$ .
Skalární součin je:
$\overrightarrow{s_p} \cdot \overrightarrow{n_\varrho}=(-1;b;-2) \cdot (0;2;-1)=2b+2$
$2b+2 \neq 0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; b \neq -1$ , jinak zapsáno $b \in (-\infty ;-1) \cup (-1;+\infty )$ .

Parametr $a$ dopočítáme tak, že parametrické rovnice přímky dosadíme do obecné rovnice roviny:
$(a-t)+2(1+bt)-(2-2t)-10=0$

$a+t(1+2b)=10$ (1)
zvolíme t=0:
$a=10$

Tím jsme dostali bod přímky $X=[10;1;2]$
Když ho dosadíme do rovnice roviny, vyjde 0=0, tedy tento bod zároveň leží jak na přímce p tak v rovině ρ.
Je tedy průsečíkem.

b) použiješ bod X a pak vektory $\overrightarrow{s_p}$ a $\overrightarrow{n_\varrho }$ musí být na sebe kolmé (tedy skalární součin = 0). tedy a=10, b=-1.

Aspoň doufám, že jsem na to šel správně, kdyžtak mě někdo prosím opravte.

cutrongxoay

Docela jsem tomu porozumel, diky
Edit: vysledek pise, ze $b\not = -\frac{1}{2}$ a $a\in R$

smajdalf · 10. 06. 2013 08:22

↑ cutrongxoay:

Jo sakra, máš pravdu, jsem se asi překoukl:
Tady mám chybu $\overrightarrow{n_\varrho}=(0;2;-1)$ , ale má samozřejmě být $\overrightarrow{n_\varrho}=(1;2;-1)$ (jsou to koeficienty v obecné rovnici roviny: $\varrho: 1 \cdot x+2 \cdot y- 1 \cdot z-10=0$ )

Takže potom ten skalární součin bude:
$\overrightarrow{s_p} \cdot \overrightarrow{n_\varrho}=(-1;b;-2) \cdot (1;2;-1)=-1+2b+2=2b+1$
$2b+1 \neq 0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; b \neq -\frac{1}{2}$

Promiň, hloupá chyba ;-/

smajdalf · 10. 06. 2013 08:45

↑ cutrongxoay:

A co se týče toho $a\in R$ , to by mě asi nenapadlo, ale vlastně je to celkem logické, když se podíváš na rovnici té přímky $p:$
$x=a-t \nl y=1+bt \nl z=2-2t$

nebo se taky dá přepsat takto:
$p: \;\; X=[a;1;2]+t \cdot (-1;b;-2)$ kde

$[a;1;2]$ je bod určující přímku a $(-1;b;-2)$ je její směrový vektor (tedy udává její směr).
No a ten je přece nejdůležitější, když se jedná o vzájemnou polohu s jiným objektem.

Takže, když mají být různoběžné, tak jak název napovídá mají "běžet různými směry" a je jedno jaký bod na přímce si zvolím jako počáteční. To, že budou různoběžné závisí "jen" na vzájemné poloze směrového vektoru $\overrightarrow{s_p}$ přímky a normálového vektoru $\overrightarrow{n_\varrho }$ roviny.

Tedy v našem případě může být $a \in \mathbb{R}$ (jakékoliv).

Pozn.: Jak se k tomuto výsledku dopracovat početně, nevím.