Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 10. 06. 2013 12:59
informatika,logika,hlavolam
18. Máme rad N žiaroviek - každá z nich je buď zhasnutá (je v stave 0) alebo svieti (je v stave
1) alebo bliká (je v stave 2). Okrem týchto žiaroviek máme jedno tlačidlo, ktoré je
naprogramované tak, že vždy, keď ho stlačíme, postupne prejde všetky dvojice susediacich
žiaroviek (najprv 1. a 2., potom 2. a 3. ... a na záver (N-1)-vú a N-tú). Ak je prvá z dvojice
zhasnutá a druhá svieti (dvojica je v stave 01), tak ich obe prepne do nového stavu 2 - obidve
budú blikať (t.j. stav 22). Ak prvá z dvojice bliká a druhá nie (dvojica je v stave 20 alebo 21),
tak vymení ich stavy (t.j. buď stav 02 alebo 12). Toto postupne urobí so všetkými dvojicami.
Zrejme po každom stlačení tlačidla sa môžu niektoré žiarovky rozblikať, iné zhasnúť alebo
rozsvietiť. V niektorých situáciách stlačenie tlačidla už nič nemení (hovoríme tomu stabilný
stav).
a. Pre N=20 zistite, koľko existuje rôznych stabilných stavov, v ktorých žiadne
žiarovky neblikajú.
b. Pre N=8 zistite, koľko existuje rôznych stavov, keď žiarovky neblikajú a z
ktorých po niekoľkých stlačeniach tlačidla sa stane stabilný stav zo samých
blikajúcich žiaroviek (t.j. 22222222).
c. Navrhnite taký stav desiatich neblikajúcich žiaroviek, aby sa stabilný stav zo
samých blikajúcich žiaroviek dosiahol na maximálny možný počet stlačení tlačidla. Koľko stlačení bude treba? (Ak takých riešení existuje viac, stačí, ak
uvediete jedno.)
a - je lahke, S ostatnymi sa niak neviem pohnut...Je to jeden z prikladov na minulorocnych primackach na UK.
vie niekto poradit ako by sa dalo rychlejsim tempom vypocitat b a c?
Offline
#2 07. 07. 2013 13:54
Re: informatika,logika,hlavolam
Zdravím,
v zadaní a:
Stačí zabezpečiť aby tam boli len 1-ky a 0-ly pričom 1-ka nesmie následovať po 0.
v zadaní b:
Tu je potrebné mať 4 jednotky a 4 nuly a to tak, aby každá nula mala niekde napravo od seba svoju jednotku. Je to veľmi voľne povedané ale to sa zhruba snažíme dosiahnuť.
Nenapadá ma nejaké jednoduché vyjadrenie cez vzorec, ale cez rozbor všetkých prípadov by to mohlo ísť.
Predstav si, že máš 4 jednotky a pred každú z nich môžeš dať určitý počet núl, tak aby si spĺňal podmienky zadania.
(0-4)x0 1 (0-3)x0 1 (0-2)x0 1 (0-1)x0 1 číslo v zátvorke určuje koľko núl tam môžem dať. Ich súčet musí byť 4.
1. prípad: pred prvou jednotkou budú 4 nuly: jediná možnosť, ideme ďalej.
2. prípad: pred prvou jednotkou budú 3 nuly: ešte mi zostáva umiestniť jednu nulu. Mám 3 možnosti.
3. prípad: pred prvou jednotkou budú 2 nuly: tu sa mi to rozvetvuje buď umiestnim dve nuly naraz (2 možnosti) alebo najprv jednu nulu a potom tu druhú niekde inde (tu mám 3 nad 2 čiže 3 možnosti). Dokopy 5 možností.
4. prípad: pred prvou jednotkou bude 1 nula: teraz dám buď 3 nuly pred druhú jednotku (1 možnosť) alebo umiestnim 2+1 (dvojka ide len pred druhu a tretiu a tu jednu nulu dám pred jednu z 2. Čiže 2*2=4 možnosti). Ešte môžem položiť 1+1+1 to bude možné jediným spôsobom. Dokopy: 1+4+1=6 možností.
5. prípad: pred prvú jednotku nedám nič: neprípustný stav.
Suma sumárum mám 1+3+5+6=15.
Existuje 15 stavou takých, keď žiarovky neblikajú a po niekoľkých stlačeniach tlačidla sa stane stabilný stav zo samých blikajúcich žiaroviek (t.j. 22222222).
v zadaní c:
Ja som navrhol stav 2222222220. Tie dvojky sa budú jedna po druhej "presúvať" doprava, čiže je potrebných 9 stlačení.
Offline