Matematické Fórum

TerezaG · 10. 06. 2013 15:15

Zdravím, potřebovala bych pomoct s příklady na monotonnost a extrémy...princip chápu: určím definiční obor, zderivuji, najdu nulové body - stacionární body - podezřelé z extrému atd. .. jen mám problém s příklady kde se vyskytuje lnx apod. bude tam problém s nějakým vzorcem kde vychází e na něco :)

Takže: Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy fce:

1. $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ ... kvůli lnx musí být x>0, pak zderivuji ale nevím, jak dál..
výsledek má být: klesající v int. $(0, \mathrm{e}^{-2})$ rostoucí v $(\mathrm{e}^{-2}, +\infty )$ v bodě $x=\mathrm{e}^{-2}$ je lok. minimum $-2\mathrm{e}^{-1}$

2. $f(x)=\frac{ln^{2}x}{x}$

3. $f(x)=x\mathrm{e}^{-x^2+x}$

Moc moc děkuji :))

jelena · 10. 06. 2013 18:12

Zdravím,

předpokládám, že s derivaci problém nemáš. Také předpokládám, že jsi dost pozorná při stanovení def. oborů zadaných funkcí a skutečně je problém jen s použitím e. Pokud k tomu budeš přistupovat jako k číslu s hodnotou mezi 2 a 3 (přesně vyhledej), potom s nim pracuješ jako se základem větším, než 1 pro exponenciální (v zápisu e^{...}] nebo s logaritmem o základu větším, než 1 (v zápisu ln(...)). Plně platí pravidla počítání s mocninou nebo s logaritmy.

Pro nalezení nulových bodů (a bodu, kde derivace neexistuje) je vhodné převádět výsledek derivování do součinového a podílového tvaru, pokud jde.
Napiš tedy, jak vyšla 1. derivace u úlohy 1), a budeme pokračovat.

Počet úloh v tématu má být? Děkuji :-)

TerezaG · 10. 06. 2013 22:01

↑ jelena:
Díky :) .. omlouvám se za počet úloh, ale nechtěla jsem to rozdělovat na jedn. příklady, když jsou vlastně téměř stejné :)

Derivace mi vyšla: $\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\sqrt{x}\frac{1}{x}$ tady mám problém s úpravou, kde má vyjít $\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$ .. 2 po úpravě vyšla odkud ? :)
no.. a tímto končím :) kde se vzalo nějaké e ?

jelena · 10. 06. 2013 23:07

↑ TerezaG:

No jo :-)

jmenovatel v druhém zlomku přepsali tak: $\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x}}$ a po vykrácení dali ke společnému jmenovateli: $\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$ . Zlomek je nulový, pokud je čitatel nulový:

$\ln x+2=0$
$\ln x=-2$
$\ln x=\ln e^{-2}$
Dokončíš? Je některý krok, kterému nerozumíš?

Co se tyče intervalů monotonnosti - jmenovatel $\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$ je jen kladný, tedy vyšetřuješ znaménko čitatele. Je to logaritmická funkce se základem větším, než 1 (lepší, když se naučíš rovnou používat e a ln(x)). V pořádku? Děkuji.

TerezaG · 11. 06. 2013 12:18

↑ jelena:
Úpravu chápu :) ale pořád nevím jak se z $lnx=-2$ stane $lnx=ln\mathrm{e}^{-2}$ jinak, intervaly monotonnosti, chápu, extrémy také.. :)

K tomu druhému příkladu.. $f(x)=\frac{\ln ^2x}{x}$ po zderivování mi vyšlo $f(x)'=\frac{\ln ^2x-2\ln ^2x}{x^2}$ a zase mám problém s tím, kde dostanu $\mathrm{e}^{2}$

Moc děkuji :)

jelena · 11. 06. 2013 13:13

↑ TerezaG:

Dobra, rovnici $\log_3(x)=-2$ vyřešit umíš? (na e a na ln(x) jsi se podívala do některé definice?).

K 2. příkladu, v derivování máš chybu (spíš překlep), má být U druhého členu v čitateli: $f(x)'=\frac{\ln ^2x-2\ln x}{x^2}$ . Tak? Potom čitatel se rozloží na součin: $\ln x(\ln x -2)$ . Už dokončíš? Děkuji.

TerezaG · 11. 06. 2013 13:27

↑ jelena:
tj. jedná se o vzorec $a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}$ ? :)
..jinak už chápu :)

TerezaG · 11. 06. 2013 13:46

↑ TerezaG:
aha aha.. už chápu i toto ;)

Teď tedy prosím ještě o radu, kdy zjišťuji int. monotonnosti.. udělám si osu, na ni vynesu "nulové" body, dosadím lib. číslo z lib. intervalu a udělám průběh pomocí "vlnovky".. konkrétně ale u příkladu (omlouvám se za porušení pravidel :D)
.. $f(x)=\frac{4}{x}+\frac{1}{1-x}$ mám "nulové body" $x=0$ , $x=1$ , $x=2$ , $x=2/3$ po dosazení z lib. intervalu mi vychází, že fce klesá od $(-\infty ,0), (2/3,1), (2,\infty )$ ve výsledku je klesající v $(-\infty ,0), (0,1), (2,\infty )$ nevím proč :/

také u příkladu $f(x)=x\mathrm{e}^{-x^2+x}$ mi vychází intervaly opačně N.B jsou $x=1/2 , x=-1$

Děkuji :)

jelena · 11. 06. 2013 21:17

kdy zjišťuji int. monotonnosti.. udělám si osu, na ni vynesu "nulové" body, dosadím lib. číslo z lib. intervalu a udělám průběh pomocí "vlnovky"

ano, zjišťuješ znaménka 1. derivace na celém def. oboru (je to obdobné, jako sestavení tabulky pro nerovnici)..

$f(x)=\frac{4}{x}+\frac{1}{1-x}$

nulové body mám stejně, ale 1. derivace je u mně záporná na intervalu (0, 2/3), ale na (2/3, 1) už je kladná. Ostatní intervaly mám stejně. Tedy ani já se neshodnu s výsledkem.

U 2. úlohy mám nulové body opačných znamének $x=-1/2 , x=1$ . Zkus ještě překontrolovat.

TerezaG · 11. 06. 2013 21:57

↑ jelena:
dobře, tak to nechme, u toho druhého příkladu jsou i ve výsledku NB -1 a 1/2, což mi také vyšlo po vyřešení dané kvadratické rovnice, ale třeba to mám špatně ;)
Jinak jsem narazila na problém s "opačnými" intervaly i u příkladu

$f(x)=\ln \frac{3-x}{|x+5|}$ kde po zderivování vychází $\frac{1}{\frac{3-x}{|x+5|}}$ když složím zlomek, vyjde mi $\frac{|x+5|}{3-x}$ z toho tedy NB .. $x>3$ $x=-5$ , což je v pořádku, ale int. monotonnosti mají vyjít: rostoucí na $(-\infty ,3)$ a extrémy nejsou.. tj. od-5 do 3 je to + díky té absolutní hodnotě, nebo jak ? :)

Děkuji moc :)

jelena · 11. 06. 2013 23:12

dobře, tak to nechme, u toho druhého příkladu jsou i ve výsledku NB -1 a 1/2,

žádné "nechme" :-) jedeme proti pravidlům za souhlasu diskutujících stran, tedy se laskavě dodiskutuje všechno, co jsi rozvrtala.

Derivace
$f(x)^{\prime}=(x\mathrm{e}^{-x^2+x})^{\prime}=\mathrm{e}^{-x^2+x}+x\cdot \mathrm{e}^{-x^2+x}\cdot (-2x+1)$
Pro $x=1$ mame $f(1)^{\prime}=\mathrm{e}^{-1^2+1}+\mathrm{e}^{-1^2+1}\cdot (-2\cdot 1+1)=1-1=0$ .

Pokud jsi řešila $1-2x^2+x=0$
$2x^2-x-1=0$ tak jak to dopadne?
------------------------------------------------

$f(x)=\ln \frac{3-x}{|x+5|}$

а) třeba stanovit definiční obor (-oo, -5)U(-5, 3)
b) nevím, jakou již máš zkušenost s derivováním funkcí s absolutní hodnotou, ale "skoro na celém definičním oboru" můžeme derivovat tak, že absolutní hodnotu odstraníme na příslušném intervalu a derivujeme.
c) jelikož již máme stanoven def. obor, můžeme přepsat pomocí pravidel logaritmování na:
$f(x)=\ln \frac{3-x}{|x+5|}=\ln(3-x)-\ln|x+5|$ a tak derivovat (řekla bych, že ve Tvém zápisu jsi nederivovala vnitřní funkci, takovým přepisem situaci zjednodušíme, ale pořád máme složené funkce.

Nechceš si již založit nové téma? :-)

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2013 15:15

Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#2 10. 06. 2013 18:12

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#3 10. 06. 2013 22:01

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#4 10. 06. 2013 23:07

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#5 11. 06. 2013 12:18

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#6 11. 06. 2013 13:13

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#7 11. 06. 2013 13:27

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#8 11. 06. 2013 13:46

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#9 11. 06. 2013 21:17

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#10 11. 06. 2013 21:57

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

#11 11. 06. 2013 23:12

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy fce

Zápatí