Matematické Fórum

Galileo · 10. 06. 2013 15:07

Řeším příklad: Dešťové kapky padají volným pádem a při hustotě vzduchu $\varrho 1=1,26 kg.m^{-3}$ a při součiniteli odporu C = 0,27 dosáhnou rychlosti o velikosti $v=7 m.s^{-1}$ . Jaký mají kapky průměr d?

Vím jistě, že použiji vzorec $F=\frac{1}{2}C\varrho Sv^{2}$ .
Znám C, $\varrho$ i v. S bych počítal jako pro kouli $\frac{\pi \cdot d^{2}}{4}$ . Ale jak mám zjisti kolik se rovná F, či rovnou d? Předpokládám, že musím použít nějaký ze vzorců pro volný pád $s=\frac{1}{2}gt^{2}$ či v=gt, ale nevím jak je mám do tohoto příkladu zakomponovat...

Formol · 10. 06. 2013 15:19

Vyjdeš z toho, že došlo k rovnováze gravitační a odporové síly (imho by se ten vztah měl jmenovat spíše Rayleighův), tedy:

m neznáš, ale víš, že jde o vodu a tedy znáš hustotu. Pokud budeš i zde předpokládat kulovitý tvar kapky, dostaneš na obou stranách rovnice jen jednu neznámou d.

Galileo · 10. 06. 2013 15:49

Dobře, díky. Ale jen bych chtěl vědět, proč by logicky mělo dojít k rovnováze gravitační a odporové síly?

LukasM · 10. 06. 2013 16:53

↑ Galileo:
Pokud kapky dosáhnou nějaké rychlosti a dále už nezrychlují (tedy zrychlení=0), musí být z druhého Newtonova zákona nulová i výslednice všech sil, které na těleso působí. Odporová a gravitační síla působí v opačných směrech, takže se co do velikosti musí rovnat.

Galileo

Ok, teď jsem si našel, že výsledek je 1,274 mm, ale nějak mi to nevychází. Nevidíte někde chybu?:
$mg=\frac{1}{2}C\varrho Sv^{2}$
$V.\varrho .g=\frac{1}{2}C\varrho \frac{\pi \cdot d^{2}}{4}v^{2}$
$\frac{1}{6}\pi d^{3}\cdot \varrho \cdot g=\frac{1}{2}C\varrho \frac{\pi \cdot d^{2}}{4}v^{2}$
$\frac{\varrho g\pi d^{3}}{6}=\frac{v^2C\varrho \pi d^{2}}{8}$
$\frac{\varrho gd}{3}=\frac{v^2C\varrho }{4}$
$4\varrho gd=v^23C\varrho$
$d=\frac{v^23C\varrho }{4\varrho g}$
$d=\frac{7^2\cdot 3\cdot 0,27\cdot 1,26}{4\cdot 1000\cdot 9.81}=\frac{50,0094}{39240}=0,00127444m\doteq 1,274 mm$
????