Matematické Fórum

Mar89 · 11. 06. 2013 14:27

Pomohl by mi nekdo prosim?:)

2sin(x/2) + (odmocnina ze 2) sin x = 0

JohnPeca18 · 11. 06. 2013 14:37

podle vzorce $\sin 2x=2\sin x\cos x$
rozlozime $2\sin (x/2)+\sqrt{2}.2\sin (x/2) \cos (x/2)=0$
$2\sin(x/2)(1+\sqrt{2}\cos (x/2))=0$
takze resis $\sin(x/2)=0 \vee 1+\sqrt{2}\cos (x/2)=0$

bejf · 11. 06. 2013 14:38

↑ Mar89:
$2\sin \frac{x}{2}+\sqrt{2}\sin x=0$
$2\sin \frac{x}{2}+\sqrt{2}\sin 2\frac{x}{2}=0$
$2\sin \frac{x}{2}+\sqrt{2}\sin 2\frac{x}{2}=0$
$2\sin \frac{x}{2}+2\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$
$2\sin \frac{x}{2}$ 1 + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} $=0$
$2\sin \frac{x}{2}=0$ nebo $\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Mar89 · 11. 06. 2013 14:50

Dekuju a byli byste tak hodni a rekli mi, kolik vyjde vysledku? Me vychazi: pi/2, 3pi/2, 0 a 2pi, ale podle vysledku ma vyjit jen 3 reseni:( reseni v mnozine <0,2pi>

bejf · 11. 06. 2013 14:56 — Editoval bejf (11. 06. 2013 14:56)

$2\sin \frac{x}{2}=0$
$\frac{x}{2}=k\pi$
$x=2k\pi$ dvě řešení $0, 2\pi$

$\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{x}{2}=\frac{3}{4}\pi \nl x=\frac{3}{2}\pi$
nebo
$\frac{x}{2}=\frac{5}{4}\pi \nl x=\frac{5}{2}\pi$
Poslední kořen nepatří do intervalu, ve kterém rovnici řešíš, takže jsou opravdu tři řešení.

Mar89 · 11. 06. 2013 15:07

Dekuju, to je urcite spravne, ale porad mi neni jasne, jak najdu ten posledni vysledek.. 5pi/2?

bejf · 11. 06. 2013 15:14

↑ Mar89:
Protože kosinus je záporný ve druhém a třetím kvadrantu, tak hodnotě $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ odpovídají na jednotkové kružnici dva úhly $\frac{3}{4}\pi$ a $\frac{5}{4}\pi$ .
Čili $\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ má dvě řešení, ovšem jenom jedno spadá do intervalu $\langle 0;2\pi \rangle$ .