Matematické Fórum

lucille · 11. 06. 2013 13:07

mám najít maximální podmnožiny na nichž je $f(x)=\frac{x^2}{2x+2}$ prostá a určit k restrikcím inverzní.

abych mohla použít algoritmus musim ale nějak doplnit na čtverec/rozšířit/(nebo prostě něco s tou funkcí), abych tam měla jenom jedno $x$ . a nenapadá mě jak. poraďte prosím.

Blackflower

↑ lucille: Ahoj,
keď ide iba o úpravu predpisu funkcie:
$\frac{x^2}{2x+2}=\frac{x^2}{2(x+1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+2x+1-2x-1}{x+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)^2}{x+1}-2\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right )=$
$=\frac{1}{2}\left((x+1)-2\cdot \frac{x+1-1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)$

lucille · 11. 06. 2013 14:32

uhm... (možná to nechápu, nebo jsem to špatně vysvětlila) ale řekla bych, že tohle můj problém neřeší.
to x v tom výrazu může být na druhou, na čtvrtou apod. ale musí se tam vyskytovat jenom jednou.

nebo pokud to nejde, tak nějaký jiný způsob jak určit kde je funkce prostá? bez grafu)

Blackflower · 11. 06. 2013 16:18

↑ lucille: tak to ti potom asi neporadím :(

martisek · 11. 06. 2013 22:54

↑ lucille:

Doplňovat ani rozšiřovat nemusíš. Stačí určit nespojitosti a extrémy. Dostaneš intervaly, na kterých je funkce prostá, a pak invertuješ.

lucille · 11. 06. 2013 23:11

ano, ale měla bych na to použít stejný postup jako na tohle:

$y= x^2-4x+1$
doplním na čtverec $(x-2)^2=y+3$
teď to rozdělím na dva případy 1) $x-2\le0$
$x-2=-\sqrt{y+3}$
$f_1:= f_(/-\infty, 2)$
z toho $(f_1)_(-1):=2-\sqrt{x+3}$
$D(f_(-1))=<-3,\infty)$
$H(f_(-1)=(-\infty , 2)$ (protože obor hodnot a definiční obor se u inverzní prohodí)

analogicky 2) $x-2 \ge 0$
$x-2=\sqrt{y+3}$ atd.