Matematické Fórum

bonifax · 11. 06. 2013 19:51

Ahoj, mohu poprosit, jak mám postupovat k vyřešení této úlohy?

Hrany kvádru procházející jedním vrcholem tvoří geometrickou posloupnost, součet jejich délek je 7 cm. Povrch kvádru je $28cm^2$ . Vypočítejte objem kvádru.

$V=abc$
$S=2(ab+bc+ac)$
$S=28cm^2$

$a_1+a_2=7$ ?

bejf · 11. 06. 2013 19:59

↑ bonifax:
Kolik hran kvádru prochází jedním vrcholem?

bonifax

↑ bejf:

3 takže

$28=2(a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3)$

$a_1+a_2+a_3=7$

bejf · 11. 06. 2013 20:06 — Editoval bejf (11. 06. 2013 20:36)

↑ bonifax:
První rovnici bych možná upravil
$14=(a_{1}^2q+a_{1}^2q^3+a_{1}^2q^2)$
$14=a_{1}^2q(1+q+q^2)$

Ikdyž já si popravdě tím taky nejsem zcela jist. V takovém případě se omlouvám.

bonifax

↑ bejf:

dobře mno vpohodě,.)

V případě, že je to správný postup potom:

$28=2(a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3)$
$a_1+a_2+a_3=7$

$14=(a_{1}^2q+a_{1}^2q^3+a_{1}^2q^2)$
$14=a_{1}(q+q^2+q^3)$

-------------------------------------

$a_1(q+q^2+q^3)=14$

$a_1(1+q+q^2)=7$

-------------------------------

$2q+q=\frac{14}{7}$
$3q=2 => q=\frac{2}{3}$

asi tak, nevím pravě jestli mohu dělit druhou rovnici první nebo jen první rovnici druhou..

bejf · 11. 06. 2013 20:21

↑ bonifax:
Tam je to asi jedno, protože pořadí rovnic můžeš zaměňovat. Je to ekvivalentní úprava soustavy.

bonifax · 11. 06. 2013 20:24

↑ bejf:

jenže když dělím první rovnicí potom : $q=6$

$\frac{1}{q}+\frac{1}{q}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}$
$6=q$

bejf · 11. 06. 2013 20:31 — Editoval bejf (11. 06. 2013 20:36)

$14=(a_{1}^2q+a_{1}^2q^3+a_{1}^2q^2)$
$7=a_{1}(q+q^2+q^3)$
---------------------------------
$14=a_{1}^2 q(1+q+q^2)$
$7=a_{1}q(1+q+q^2)$
---------------------------------
Vydělíme
$\frac{a_{1}^2 q(1+q+q^2)}{a_{1}q(1+q+q^2)}=\frac{14}{7}$
$a_{1}=2$

Ha, že by?

bejf · 11. 06. 2013 20:49

↑ bonifax:
Ještě se zkus podívat sem.

bonifax

↑ bejf:

tu pŕedchozí rovnicí v příspěvku 4 jsi pozměnil, příště se zmiň prosím, úplně jsem se ztratil.

Jinak ta druhá tvoje rovnice se mi nějak nezdá...

Vytkl jsi a_1q jenže první člen nemá q ne?

Myslím tato: $7=a_1q(1+q+q^2)$ ?

původní rovnice byla $a_1+a_2+a_3=7$

$a_1=a_1$
$a_2=a_1q^1$
$a_3=a_1q^2$

?

EDIT:

ps: jinak díky za odkaz

bejf · 11. 06. 2013 21:04 — Editoval bejf (11. 06. 2013 21:05)

↑ bonifax:
Máš pravdu, moje chyba.
Správně podle mého posledního výpočtu má být
$\frac{a_{1}^2q}{a_{1}}=\frac{14}{7}$
$a_{1}q=2$ tedy $a_{2}=2$ a $q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$

Pivňa · 11. 06. 2013 21:05

$14=a^{2}_{1}q + a_{1}^{2}q^{3} + a_{1}^{2}q^{2}$
$7= a_{1}(1+q+q^{2})$
--------
$14 = a_{1}^{2}q( 1+q+q^{2})$
$7= a_{1}(1+q+q^{2})$
--------
$\frac{14}{7} = a_{1}q$
$a_{1} = \frac{2}{q}$

součet geometrické posloupnosti
$7=\frac{2}{q} * \frac{q^{3}-1}{q-1}$
$7=\frac{2}{q} * \frac{(q-1)(q^{2}+q+1)}{q-1}$
po úpravě a vyřešení kvadratické rovnice máme
$q_{1} = 0,5$ a $q_{2} = 2$

strany kvádru jsou tedy 1,2,4