Matematické Fórum

Nozyx · 12. 06. 2013 15:46 — Editoval Nozyx (12. 06. 2013 15:51)

Lidi chci jen aby jste mi řekli jestli to mám správně nebo ne, jak postup tak výsledek :-)

Zjistěte pro které hodnoty parametru p jsou dané rovnice rovnicemi kružnice. Určete souřadnice středu kružnice a její poloměr

$x^{2}+y^{2}-x-2y+p=0\\x^{2}-x+y^{2}-2y+p=0\\(x-1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4+p=0\\(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5-p$

takže $S[1;2]$ a $r= \sqrt{5-p}$

je to dobře? kdyžtak mě opravte

Aquabellla · 12. 06. 2013 16:07

↑ Nozyx:

Zkoušel sis toto $(x-1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4+p=0$ zpětně roznásobit?

Správně se to dělá takto:
$x^2 - x = x^2 - x + \frac14 - \frac14 = \left(x - \frac12 \right)^2 - \frac14$ , to samé máš špatně s $y$

Nozyx · 12. 06. 2013 16:21

↑ Aquabellla:

Muzes mi prosimte vysvetlit proc takhle? kde si tam vzal tu ctvrtinu?

Aquabellla · 12. 06. 2013 16:29

↑ Nozyx:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
V tvém příkladu je: $a^2 = x^2$ , $2ab = x$ --> $2b = 1$ --> $b = \frac12$ --> $b^2 = \frac14$

Nozyx · 12. 06. 2013 17:00

můžeš mi prosimtě ukázat celej postup jak si to dělal? porad to nedokazu nejak pochopit co kde proc

Aquabellla · 13. 06. 2013 08:58

↑ Nozyx:

Děláš takzvanou úpravu na čtverec. Tj. chceš se dostat z tvaru tohohle: $a^2 + 2ab + b^2$ na tenhle: $(a + b)^2$ .

Tvůj příklad: $x^{2} + y^{2} - x - 2y + p = 0$ rozdělíme na tři části: 1) výrazy s x: $x^{2} - x$ , 2) výrazy s y: $y^{2} - 2y$ , 3) zbytek: $+ p$ .

První část doplníme na čtverec:
$x^2 = a^2$ , tj. $x = a$
$- x = 2ab$ , dosadíme za $x = a$ , dostaneme $- a = 2ab$ , podělíme áčkem, dostaneme $- 1 = 2b$ , vyjádříme béčko a dostaneme $b = - \frac12$ .
Takže náš "čtverec" vypadá takto: $(a + b)^2 = \left(x - \frac12 \right)^2$ .
Výraz roznásobíme: $\left(x - \frac12 \right)^2 = x^2 - x + \frac14$ - vidíme, že tam přibyla ta jedna čtvrtina, proto ji musíme i odečíst: $x^2 - x = x^2 - x + \frac14 - \frac14 = \left(x - \frac12 \right)^2 - \frac14$

To samé uděláme ve druhé části:
$y^{2} - 2y$ --> $y^2 = a^2$ , tj. $y = a$
$-2y = 2ab$ --> $-2a = 2ab$ --> $b = -1$
Čtverec: $(a + b)^2 = (y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$ - přibyla nám tam jednička, proto ji musíme zase odečíst: $y^{2} - 2y = y^{2} - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1$

Nakonec všechny tři části sečteme: $\left(x - \frac12 \right)^2 - \frac14 + (y - 1)^2 - 1 + p = 0$
A převedeme na středový tvar kružnice: $\left(x - \frac12 \right)^2 + (y - 1)^2 = 1 + \frac14 - p$
Sečteme pravou stranu: $\left(x - \frac12 \right)^2 + (y - 1)^2 = \frac54 - p$