Matematické Fórum

kotik16

dobrý den, chtěl bych se zeptat, zda by mi někdo nepomohl s příkladem.
zadání zní : Jsou dána komplexní čísla a, b, c. a=1,|b|=|c|=1, a+b+c=0 . Dokažte, že obrazy čísel a, b, c v Gaussově rovině jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníku.
předem díky za odpověď

martisek

↑ kotik16:

Ahoj,

$|b|=1\Rightarrow b=\cos\beta +i\sin\beta$
$|c|=1\Rightarrow c=\cos\gamma +i\sin\gamma$
$a+b+c=0\Rightarrow \cos\beta +i\sin\beta + \cos\gamma +i\sin\gamma = -1\Rightarrow$
$\cos\beta + \cos\gamma = -1$
$\sin\beta + \sin\gamma = 0$

Zkusíš dokončit?

kotik16

↑ martisek:
no ono by se to podle mě mělo počítat jako binomická rovnice, ale nemůžu přijít na to jak. A nebo kdybych věděl ještě pár kroků přidaného postupu, možná by mi to docvaklo.
jinak díky aspoň za něco ;)

martisek · 13. 06. 2013 00:46

↑ kotik16:

Z poslední rovnice plyne, že $\gamma =-\beta$ , což dosazeno do předposlední znamená

$\cos\beta +\cos(-\beta)=2\cos\beta =-1 \Rightarrow \cos \beta = -\frac 1 2 \Rightarrow \beta = \pm 120^o; \gamma = \pm 120^o$

a důkaz je hotov.

kotik16

↑ martisek:
a měl bych k tomu mít ještě nějaký slovní dodatek? že proč právě z tohoto důkazu jde vidět že se jedná o rovnostranný trojúhelník? jak to dokážu v té gaussově rovině?
Mám jeden bod který poznám z a=1 a na imaginarni ose ma souradnici 0 a na reálné 1 ale teď když chci dosadit za $\beta, \gamma$ je jedno jestli dosadím kladnou nebo zápornou hodnotu úhlu 120° , tak aby mi to vyšlo?

martisek · 13. 06. 2013 08:56

↑ kotik16:

Nakresli si:

Jestliže A, B, C jsou obrazy čísel a, b, c v Gaussově rovině a bod O počátek, pak bod A má souřadnice A=[1;0] a jednotková kružnice je kružnice opsaná trojúhelníku ABC (to vyplývá ze zadání). Spočítali jsme, že $\sphericalangle AOB = \beta = 120^o$ ; $\sphericalangle AOC = \gamma = - 120^o$ . Z toho už snadno dokážeš, že ABC je rovnostranný.

Případ, kdy úhly mají opačná znaménka, tj. $\beta =-120^o$ ; $\gamma = 120^o$ jenom přehodí body B;C.