Matematické Fórum

Majkee · 13. 06. 2013 10:59

Ahoj, prosím o radu, jak vyřešit následující příklad. Zadání:
Pomocí Stirlingovy aproximace $n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot(\frac{n}{e})^{n}$ určete přibližnou hodnotu čísla $2n$ nad $n$ pro velké hodnoty $n$ .

Bati · 13. 06. 2013 11:21

Ahoj,
stačí si napsat, co to je 2n nad n : $\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ .
Pak už stačí jen "dosadit", přesněji řečeno využít toho, že $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}$\frac{n}{e}$^n}=1$ .
Jde jen o to, umět počítat limity.

Majkee · 13. 06. 2013 14:23

↑ Bati: Děkuji, a dosadit musím přímo ten výraz $2n$ nad $n$ , nebo musím osamostatnit $n!$ ?

Rumburak · 13. 06. 2013 16:15

↑ Majkee:

Ahoj. Dosadíš

$n! = \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}$\frac{n}{e}$^n} \cdot \sqrt{2\pi n}$\frac{n}{e}$^n$ ,

$(2n)! = \frac{(2n)!}{\sqrt{2\pi (2n)}$\frac{2n}{e}$^{2n}} \cdot \sqrt{2\pi (2n)}$\frac{2n}{e}$^{2n}$

s vyhlídkou, že při výpočtu oné limity nahradíš zlomky $\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}$\frac{n}{e}$^n} , \frac{(2n)!}{\sqrt{2\pi (2n)}$\frac{2n}{e}$^{2n}}$ jedničkami
(coz jsou podle Stirlingovy formule jejich limity).

Majkee · 14. 06. 2013 10:13

↑ Rumburak: Děkuji moc za radu.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2013 10:59

Stirlingova aproximace binomického koeficientu

#2 13. 06. 2013 11:21

Re: Stirlingova aproximace binomického koeficientu

#3 13. 06. 2013 14:23

Re: Stirlingova aproximace binomického koeficientu

#4 13. 06. 2013 16:15

Re: Stirlingova aproximace binomického koeficientu

#5 14. 06. 2013 10:13

Re: Stirlingova aproximace binomického koeficientu

Zápatí