Matematické Fórum

Xorii · 13. 06. 2013 23:08

Zdravím,

připravuji se na přijímací zkoušku z matematiky a nevím si rady se třemi příklady. Kdyby se našla nějaká dobrá duše co by mi s tím pomohla tak bych jí byl vděčný.

11) $x^{4} - 10x^{3} + 35x^{2} - 50x + 24$

Správnou odpovědí je {1, 2, 3, 4}, ale jak se na to přišlo je mi záhadou. Vím, že je to "kvartická rovnice" a řeší se nějakým dělením, které také moc nechápu.

13) $7 * 3^{x+1} - 3^{x+2} - 2^{x+2} - 2^{x+3} = 0$

20) Součin dvou kladných celých čísel je 432, jejich největší společný dělitel je 6. Jaký je jejich součet, je-li alespoň jedno z čísel větší než 30?

Správná odpověď je 78 a čísla jsou 72 a 6, ale omylem jsem to tipl a vyšlo to.

Děkuji za každou pomoc! :)

bejf · 13. 06. 2013 23:44

↑ Xorii:
11)
Odhadneš kořen, já jsem hádal například $x=1$
Pak podělíš
$(x^{4} - 10x^{3} + 35x^{2} - 50x + 24):(x-1)$
Vyjde ti výraz třetího stupně, opět odhadneš kořen a podělíš, pak ti vyjde kvadratická rovnice a u té je to hračka.

13)
$7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+2} - 2^{x+2} - 2^{x+3} = 0$
$3^{x+1}(7-3)-2^{x+2}(1+2)=0$
$3^{x+1}\cdot 4-2^{x+2}\cdot 3=0$
$3^{x+1}\cdot 2^2-2^{x+2}\cdot 3=0$ vydělíš dvanácti (3*4=12)
$3^x=2^x$
$x=0$

20)
Aby měli dvě čísla největší společný dělitel šestku, tak jedním z těch čísel musí být šestka.
Vydělíš 432 šesti, vyjde 72.
72+6=78

Xorii · 13. 06. 2013 23:51

↑ bejf:

Já to zkoušel taky tipovat, ale co když se třeba 2x netrefím? Může se to stát? To je pak hrozně práce navíc a ve které fázi poznám, že je to už špatně?

Myslíš, že by jsi mi ten první dotazovaný mohl rozepsat? Jen pro to dělení. Děkuji! :)

Jan Jícha · 13. 06. 2013 23:55

↑ Xorii: Většinou hádáš kořeny ... -3,-2,-1,0,1,2,,3 ... Dosadit tam a ověřit, zda to platí je otázkou chvilky.

bejf · 14. 06. 2013 00:01

↑ Xorii:
Prostě za x dosadím jedničku a spočítám, jestli se to rovná nule. To se zpravidla tak dělá. Hádá se jako první 1 nebo -1 nebo 0, případně 2 atd. Ten příklad je stavěn většinou na to, aby to bylo jedno z čísel od -1 do 1, v horším případě to bude 2 nebo -2, 3 nebo -3 atd atd. Ale s hádáním vyšších čísel jsem se zatím taky nesetkal.
Teď k výpočtu.

$x^{4} - 10x^{3} + 35x^{2} - 50x + 24$ odhadnu kořen $x=1$ a dosadím. Rovnice je splněna.
Tak vydělím tu rovnici $(x-1)$ . Postupně dělím mnohočlen mnohočlenem, to bys měl umět.
$(x^{4} - 10x^{3} + 35x^{2} - 50x + 24):(x-1)$
Z tohohle dělení ti vyjde další rovnice o stupeň nižší, u které zas budeš hádat nově kořen. Můžeš dosadit opět jedničku, nulu, jakékoli nízké celé číslo kolem nuly. Pokud budeš hádat třeba $x=2$ a ten kořen tu rovnici bude splňovat, tak tu rovnici třetího stupně vydělíš výrazem $(x-2)$ , z čehož ti vyjde kvadratická. A tu už umíme řešit třeba Vietovými vztahy nebo vypočítáním diskriminantu. Pokud by ta poslední kvadratická rovnice neměla žádné řešení, tak ta původní rovnice bude mít jen dvě řešení - to první co jsi hádal na začátku, a pak to druhé co jsi hádal u třetího stupně.

Xorii · 14. 06. 2013 00:10

↑ bejf:

Jasně, suprově jsi to vysvětlil, chápu to :)

Ještě bych se zepta. U zadání 13 nechápu v druhém kroku vytknutí -3 a 2 v závorkách. Poté tvůj popisek 3*4=12.

bejf · 14. 06. 2013 00:12 — Editoval bejf (14. 06. 2013 00:17)

↑ Xorii:
No a třeba to, že $3^{x+1}=3^x\cdot 3$ víš?
Pak samozřejmě $3^{x+2}=3^x\cdot 3^2$

Klidně si ten druhý krok zpětně roznásob. Vyjde ti původní zadání. Prostě jsem vytknul před závorku.

Xorii · 14. 06. 2013 00:17

↑ bejf:

Ajoo, to mi nedošlo, jsem už trošku zmatený. Už i tu 12tku vidím. Mockrát děkuji. Hrozně jsi mi pomohl :)

bejf · 14. 06. 2013 00:17

↑ Xorii:
Rádo se stalo. A přeju hodně štěstí. :)

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2013 23:08

fit ČVUT

#2 13. 06. 2013 23:44

Re: fit ČVUT

#3 13. 06. 2013 23:51

Re: fit ČVUT

#4 13. 06. 2013 23:55

Re: fit ČVUT

#5 14. 06. 2013 00:01

Re: fit ČVUT

#6 14. 06. 2013 00:10

Re: fit ČVUT

#7 14. 06. 2013 00:12 — Editoval bejf (14. 06. 2013 00:17)

Re: fit ČVUT

#8 14. 06. 2013 00:17

Re: fit ČVUT

#9 14. 06. 2013 00:17

Re: fit ČVUT

Zápatí