Matematické Fórum

darius23 · 13. 06. 2013 14:02

$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}5xy dxdydz=\int_{0}^{2}\int_{\pi }^{2\pi }\int_{0}^{\pi }5\varrho ^{4}\cos \varphi \sin \varphi \sin ^{3}\vartheta d\vartheta d\varphi d\varrho$ $\Omega : x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 , y\le 0$ Zdravím, mám rozpočítaný příklad, který nejsem schopný dovést do zdárného konce.Vím, že se jedná o polovinu koule, proto jsem použil převodu do sférických souřadnic a výraz upravil. Další postup $=5\cdot [\frac{\varrho ^{5}}{5}]^{2}_{0}\cdot \int_{\pi }^{2\pi }\cos \varphi \sin \varphi d\varphi \cdot \int_{0}^{\pi }\sin ^{2}\vartheta \cdot \sin \vartheta d\vartheta =$ $5\cdot [\frac{\varrho ^{5}}{5}]^{2}_{0}\cdot \int_{\pi }^{2\pi }\cos \varphi \sin \varphi d\varphi \cdot \int_{0}^{\pi }(1-\cos ^{2}\vartheta )\cdot \sin \vartheta d\vartheta$ Dále jsem chtěl využít substituci na zbývajících dvou integrálech, ale integral $\int_{\pi }^{2\pi }\cos \varphi \sin \varphi d\varphi$ mi vychází 0. Prosím o radu jak dál. Popřípadě co jsem udělal špatně.
Děkuji

kaja.marik · 13. 06. 2013 17:10

Me se moc nechce to procitat nez si ujasnime jedno: proc si myslite, ze to nemuze vyjit nula?

darius23 · 13. 06. 2013 18:20

↑ kaja.marik:výsledek integrálu by měl být nenulový a nezáporný. Pokud se mýlím opravte mě. Ve výpočtu je dál po substitucích $32\cdot 0\cdot \frac{4}{3}=0$

user · 13. 06. 2013 18:27

↑ darius23: A z jakého důvodu by měl výsledek být nezáporný a nenulový?

darius23 · 13. 06. 2013 18:34

↑ user: příklad je z písemky a tam se takové příklady nepoužívají. Zkoušel jsem to nadefinovat do wolframu kde to vyšlo 4,....

jelena · 14. 06. 2013 09:28

↑ darius23:

Zdravím,

zkoušela jsem počítat ručně, také mi vychází 0 (ze stejného důvodu), jak máš (je to lichá funkce na zadaném intervalu, tedy 0). Také zadáním sem, bez převodu do sférických (skoro Tvé zadání, jen změnit horní pro y (y=0)), též 0.

Jak Ty jsi nadefinoval do WA, lze odkaz? Děkuji.

kaja.marik · 14. 06. 2013 12:18

Ono se to da chapat (az na vydeleni hmotnosti) jako poloha teziste, ktere je symetricke a ma symetricky rozlozenou hmotnost. Takze dalsi argument pro tu nulu. (To jsem si rikal, kdyz jsem psal svuj prvni prispevek sem. Ale jenom jsem to mel rozmyslene v hlave, ani jsem si to nekreslil a proto jsem si nebyl jisty.)

Rumburak · 14. 06. 2013 13:26

Zdravím.

Označíme-li dále

$\Omega_1 : x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 , y\le 0 , x \ge 0$ ,
$\Omega_2 : x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 , y\le 0 , x \le 0$ ,

$I =\iiint_{\Omega} 5xy \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z$ ,
$I_1 =\iiint_{\Omega_1} 5xy \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z$ ,
$I_2 =\iiint_{\Omega_2} 5xy \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z$ ,

potom $I_2 > 0, I_1 = -I_2 , I = I_1 + I_2 = 0$ .

darius23 · 14. 06. 2013 16:13

↑ jelena: toto je originální zadání

darius23 · 14. 06. 2013 16:31

Zdravím, a zároveň DĚKUJI za čas, který jste mojí úloze věnovali. Musím se Vám omluvit, protože opravdu je výsledek 0. Při nadefinování do wolframu jsem udělal malou chybu a problém byl na světě. Včera jsem to asi s tím počítáním přehnal a já na tom opravdu strávil hromadu času.
Bez vaší pomoci bych na to nepřišel, protože jste mě ujistili, že to tak je. ''Je to jediný příklad z 30, které mám ke zkoušce k dispozici na trojný integral a vychází nula.''
DĚKUJI

jelena · 14. 06. 2013 22:32

↑ darius23:

také děkuji za podrobný komentář a všem kolegům v tématu za ochotu. Dobře, že se ujasnilo.

Musím se Vám omluvit, protože opravdu je výsledek 0.

:-) není za co - byl to jak podnět, tak i přínos debaty nad rozpracovaným (a v tomto případě i hotovým) řešením. Téma označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2013 14:02

Trojný integral

#2 13. 06. 2013 17:10

Re: Trojný integral

#3 13. 06. 2013 18:20

Re: Trojný integral

#4 13. 06. 2013 18:27

Re: Trojný integral

#5 13. 06. 2013 18:34

Re: Trojný integral

#6 14. 06. 2013 09:28

Re: Trojný integral

#7 14. 06. 2013 12:18

Re: Trojný integral

#8 14. 06. 2013 13:26

Re: Trojný integral

#9 14. 06. 2013 16:13

Re: Trojný integral

#10 14. 06. 2013 16:31

Re: Trojný integral

#11 14. 06. 2013 22:32

Re: Trojný integral

Zápatí