Matematické Fórum

neumim matiku

Ahoj, potřeboval bych poradit s dvěma příklady. První bych potřeboval zkontrolovat a u druhého ukázat postup nebo jak začít protože si vůbec nevím rady děkuji.

Najdi rovnice tečny kružnice k v daném bodě:
$a)k:x^2+y^2=25,A[3;4]$
$(x_0-m).(x-m).(y_0-n).(y-n)=r^2$
$(x_0-0).(x-0).(y_0-0).(y-0)=25$
$(3-0).(x-0).(4-0).(y-0)=25$
$3x+4y-25=0$

$b) k:x^2+y^2-6x-10y+9=0,B[-1,2]$

cyrano52

↑ neumim matiku:

Ahoj, u prvního příkladu máš výsledek dobře.

Co se týče druhého, je obecnou rovnici kružnice převést na středovou. Nejdříve si přesuneš proměnné na jednu stranu (nejprve x, pak y), čísla na druhou.:

$x^{2}-6x+y^{2}-10y=-9$

Nyní musíš k rovnici přičíst taková čísla, abys mohl daný mnohočlen z x i y převést na tvar $(a\pm b)^{2}$ . U x-ového mnohočlenu přičteš číslo 9, u ypsilonového to nechám na tobě. Nesmíš samozřejmě zapomenout na podmínku, že levá strana rovnice se musí rovnat pravé. :)

neumim matiku · 14. 06. 2013 18:12

Děkuji, zkusil jsem počítat dál došel jsem k tomuhle ale dál už si zase nevím rady.

$x^2-6x+y^2-10y+9=0$
$(x^2-6x+9)-9+(y^2-10y+25)-25+9=0$
$(x-3)^2+(y-5)^2-9-25+9=0$
$(x-3)^2+(y-5)^2-25=0$

Jan Jícha · 14. 06. 2013 18:22

$(x-3)^2+(y-5)^2=25$

B[-1,2]

y=kx+q

2=k(-1)+q

2=-k+q

q=2+k

$y=kx+2+k$
$(x-3)^2+(y-5)^2=25$

Vyřeš jako soustavu 2 rovnic o 2 neznámých a jedním parametrem a diskriminant polož rovno nule.

martisek

↑ neumim matiku:↑ Jan Jícha:

Rovnice tečny ve druhém případě je tvaru

$(x-3)(x_0-3)+(y-5)(y_0-5)=25$

Po dosazení bodu dotyku

$(x-3)(-1-3)+(y-5)(2-5)=25$

snadno dostaneme

$4x+3y-2 = 0$

Zcela obecné řešení pro jakoukoli křivku vede přes parametrické rovnice. Parametrické rovnice kružnice $(x-3)^2+(y-5)^2=25$ jsou

$x=3+5\cos t$ (1)
$y=5+5\sin t$ (2)

Obecné souřadnice směrového vektoru tečny získáme derivováním podle t:

$x'=-5\sin t$ (3)
$y'= 5\cos t$ (4)

Tečnu máme sestrojovat v bodě B[-1;2]. Ten leží na kružnici, tj. platí pro něj rovnice (1) (2):

$-1=3+5\cos t \Rightarrow \cos t = -\frac 4 5$
$2=5+5\sin t \Rightarrow \sin t = -\frac 3 5$

Dosazením do (3) (4) získáme souřadnice směrového vektoru pro náš konkrétní bod:

$x'=-5\sin t \Rightarrow x'=-5\cdot \left( -\frac 3 5\right) = 3$
$y'= 5\cos t \Rightarrow y'=5\cdot \left( -\frac 4 5\right) = -4$

Parametrické rovnice tečny jsou tedy

$x=-1+3t$
$y= 2-4t$

neumim matiku · 15. 06. 2013 03:35

Děkuji všem za pomoc. Ještě bych se chtěl zeptat jak postupovat s tímhle příkladem?

Kružnice má střed $S[-1;3]$ , přímka $t:x-2y+2=0$ je její tečnou. Urči rovnici této kružnice a vypočítej souřadnice bodu dotyku.

Vím, že řešení rovnice by mělo být $(x+1)^2+(y-3)^2=5$ ale postup jak se k tomu přesně dopracovat nechápu.

LukasM · 15. 06. 2013 09:00 — Editoval LukasM (15. 06. 2013 09:01)

↑ neumim matiku:
Tak že kružnice má rovnici $(x+1)^2+(y-3)^2=r^2$ je asi jasné. Pro průsečík musí dále platit $x-2y+2=0$ . Teď jen dopočítat to r. Jak na to ti už poradil u jiné úlohy ↑ Jan Jícha:. Pokud to má být tečna, musí existovat jen jedno (a právě jedno) společné řešení té soustavy (jeden průsečík). r je tedy potřeba nastavit tak, aby to tak bylo.

neumim matiku · 15. 06. 2013 21:25

↑ martisek:

Příklad jsem si počítal znovu a nějak se nemůžu dopracovat k tomu výsledku:

$4x+3y-2=0$

Jan Jícha · 15. 06. 2013 21:55

$(x-3)^2+(y-5)^2=25$
$y=kx+2+k$

$x^2-6x+9+y^2-10y=0$
$y=kx+2+k$

$x^2-6x+9+(kx+2+k)^2-10(kx+2+k)=0$

$x^2+k^2 x^2+2 k^2 x-6 k x-6 x+k^2-6 k-7 = 0$

$x^2(1+k^2)+x(2k^2-6k-6)+k^2-6k-7=0$

$(2k^2-6k-6)^2-4(1+k^2)(k^2-6k-7)=0$

$36 k^2+96 k+64 = 0$

$k=-\frac 43$

$y=-\frac 43 x + 2 -\frac 43$

$4x+3y-2=0$

martisek · 15. 06. 2013 22:41

↑ neumim matiku:

Obecná rovnice tečny kružnice

$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$

v bodě $T=[x_0;y_0]$ je tvaru

$(x-m)(x_0-m)+(y-n)(y_0-n)=r^2$

Není tam moc co počítat, stačí dosadit konkrétní hodnoty a na dvou řádcích to vyjde.

neumim matiku

Děkuji, ještě tu mam jeden a už asi poslední problém u jednoho příkladu na vzájemnou polohu přímky p a kružnice k:

$p:x-2y-1=0, k:(x-4)^2+(y+1)^2=5$

Měla by to být tečna. Počítal jsem to dvakrát, ale vždy to vyšlo záporně.

Jan Jícha · 15. 06. 2013 23:13

↑ neumim matiku: Kruznice nema polomer a podle pravidel jedna uloha do jednoho tematu.

neumim matiku · 15. 06. 2013 23:31

↑ Jan Jícha:

Zapomněl jsem, založím teda nové téma.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2013 15:47 — Editoval neumim matiku (14. 06. 2013 15:51)

Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#2 14. 06. 2013 16:18 — Editoval cyrano52 (14. 06. 2013 16:20)

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#3 14. 06. 2013 18:12

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#4 14. 06. 2013 18:22

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#5 14. 06. 2013 23:49 — Editoval martisek (15. 06. 2013 01:05)

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#6 15. 06. 2013 03:35

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#7 15. 06. 2013 09:00 — Editoval LukasM (15. 06. 2013 09:01)

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#8 15. 06. 2013 21:25

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#9 15. 06. 2013 21:55

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#10 15. 06. 2013 22:41

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#11 15. 06. 2013 23:09 — Editoval neumim matiku (15. 06. 2013 23:27)

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#12 15. 06. 2013 23:13

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

#13 15. 06. 2013 23:31

Re: Rovnice tečny kružnice v daném bodě

Zápatí