Matematické Fórum

kanjoe · 15. 06. 2013 16:01

Zdravi prosim Vas o vzorec ktorym vypocitam takyto integral $\int_{}^{} \frac{3x+2}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

smajdalf · 15. 06. 2013 16:43

Ahoj,
takhle to spočítal WolframAlpha:

$\int_{}^{} \frac{2+3 x}{1+x+x^2} dx = \frac{1}{9} \frac{3(x-4)}{x^2+x+1}+2 \sqrt3 \;\text{tg}^{-1}\left( \frac{2 x+1}{\sqrt{3}} \right)+\text{konstanta}$

a takhle Maple 17:

$\int_{}^{} \frac{2+3 x}{1+x+x^2} dx = \frac{1}{3} \; \frac{x-4}{x^2+x+1} + \frac{2}{9} \; \sqrt{3} \; \text{tg}^{-1} \left( \frac{1}{3} \; (2x+1) \; \sqrt{3} \right) + \text{konstanta}$

martisek · 15. 06. 2013 18:11

↑ smajdalf:

Pokud jde jen o výsledek, pak

$\int \frac{3x+2}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac{1}{3} \frac{x-4}{x^2+x+1} + \frac{2}{9} \sqrt{3}\cdot \text{arctg}\left( \frac{2x+1} {\sqrt{3}} \right) + C$

Jde-li o výpočet, obávám se, že ten nebude úplně jednoduchý.

kanjoe · 15. 06. 2013 18:15

↑ martisek: tak aspon strucny popis wypoctu? :D

jelena · 15. 06. 2013 18:45

Zdravím v tématu,

začala jsem psat upozornění, že u kolegy ↑ smajdalf: chybí v jmenovateli ^2 nad celou závorkou, ale z náhledu jsem již viděla doporučení kolegy ↑ martisek: (pozdrav a opětuji pozdrav v některém dalším tématu :-).

Já bych zde viděla cesty takové:

a) parciální zlomky,

b) vyčlenit část "čitatel je derivace výrazu v závorce jmenovatele", na zbytek parciální zlomky,

c) metodu Ostrogradského.

d) metodu ↑ martisek: (protože přwsně nevím, co bylo myšleno).

↑ kanjoe:

kterou metodu bys použil? Případně zkoušet zvolenou metodu krokově v MAW (pro úsporu času) a zkoušel jsi před vložením dotazu? Děkuji.

martisek

↑ kanjoe:

Integrál

$\int \frac{ax+b}{(x^{2}+px+q)^{2}} dx$

jsem měl napsaný jako vzoreček, protože se jedná o (ten nejhnusnější) parciální zlomek, a tak se to někdy hodí. Pokud jde o výpočet, začal bych (jak doporučuje ↑ jelena: - opět zdravím :-) asi takto:

$\int \frac{3x+2}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac 3 2 \int \frac{2x+1+\frac 1 2}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx = \frac 3 2 \int \frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx + \frac 3 4 \int \frac 1{(x^{2}+x+1)^{2}} dx$

První integrál je (snad) jasný, jmenovatel druhého se doplňuje na úplný čtverec, ale cesta je ještě dlouhá...

jelena · 15. 06. 2013 20:40

kolega martisek napsal(a):
protože se jedná o (ten nejhnusnější) parciální zlomek

:-) proto se mi zde jeví nejlepší Ostrogradskij. Používáte? Děkuji.

martisek · 15. 06. 2013 23:24

↑ jelena:

No, já nevím. Jak jsem se na to díval připadá mi to ještě komplikovanější. A to ve jmenovateli ani neměli trojčlen jako my. Já se raději přidržím svého kopyta:

Zbývá jen dosadit ze substituce a poskládat. Mělo by to vyjít (doufám, že jsem tam v tuto pokročilou hodinu nenasekal nějaké chyby :-)

jelena · 16. 06. 2013 00:28

↑ martisek:

pravě Ostrogradskij je dobrý, že už na integrování skoro nic nezůstane:
$\int_{}^{} \frac{3x+2}{(x^{2}+x+1)^{2}}\d x=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\int \frac{Cx+D}{x^2+x+1}\d x$

celou rovnici zderivuji:

$\frac{3x+2}{(x^{2}+x+1)^{2}}=\frac{A(x^2+x+1)-(Ax+B)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$

a po přivedení ke společnému jmenovateli porovnám koeficienty:
$3x+2={A(x^2+x+1)-(Ax+B)(2x+1)}+(Cx+D)(x^2+x+1)$

počítala jsem poctivě na papír, nemusím prezentovat :-) a mám:
$A=\frac{1}{3},\, B=-\frac{4}{3},\, C=0,\, D=\frac{1}{3}$

Mně touto metodou zůstává počítat jen poslední integrál, který dopadl tak: $\int \frac{1}{3(x^2+x+1)}\d x$ , což je nenáročné vedoucí na arctg.

No není to pěkná metoda? :-)

martisek · 16. 06. 2013 10:21

↑ jelena:

Ale jo, ono záleží na tom, kdo je na co zvyklý...

jelena · 16. 06. 2013 12:27

↑ martisek:

To ano, ale zde je záznam, že i vážena autorita byla unesena metodou. V místních poměrech již jsem viděla i Ostrogradskij metodu v podobě, jak uvádím, tak i na zlomky s odmocninou (vzorec 11 v odkazu). V MAW, jak bylo informováno, je zapracována 2. metoda jako Metoda Ostrogradského.

:-) ono stejně, s ohledem na další témata kolegy autora tématu, nejspíš oznámí, že v zadání je překlep.

martisek · 16. 06. 2013 12:43

↑ jelena:

Nic proti autoritám, ale zrovna příklad 16, který je v odkazu řešen, je substitucí x = sin t hotový na dvou řádcích. Ale na složitější racionality a iracionality je to asi dobré.

jelena · 16. 06. 2013 19:28

↑ martisek:

odkaz na TUL byla jen ukázka, jak je metoda prezentována v místních poměrech. Spíš, když se zde metoda Ostrogradského začala probírat, tak jsem se trochu zajímala o samotnou osobnost pana autora - takový přínos to mělo určitě.

Autor tématu již téma označil za vyřešené, tak se nedovíme, jaký přínos tato debata měla, každopádně děkuji :-)

kanjoe · 16. 06. 2013 22:41

↑ jelena:
pouzil som tuto ostrogradskeho metodu ;) najlepsia a najlhsia cesta .. dakujem

kanjoe · 16. 06. 2013 22:51

prosim Vas este jedna otazocka..aky je vzorec ku integralu $\int_{}^{} \frac{1}{x^{2}+x+1}dx$ ?
Ked to prevediem na svorec dostavam $\int_{}^{} \frac{1}{(x+1/2)^{2}+3/4}dx$ . Ako to upravit do tvaru arctg?? Je nejaky vseobecny vzorec?

jelena · 16. 06. 2013 23:41

↑ kanjoe:

ne do tvaru arctg, ale do tvaru vědoucího po integrování na arctg. Pokud substituce (x+1/2)=u, potom je to již tabulkový vzorec (č. 9).

Přesně se upravuje tak:
$\frac{1}{\frac{3}{4}$\(\frac{2(x+\frac12)}{\sqrt{3}}$^{2}+1\)}$

Potom drobná substituce vnitřku (...) raději to ještě překontroluj.

pouzil som tuto ostrogradskeho metodu ;) najlepsia a najlhsia cesta

děkuji :-) doufám, že vyučující nebude nic namítat (ale můžeš doložit odkazy na metodu).

kanjoe · 17. 06. 2013 00:39

↑ jelena: este raz dakujem krasne ;)

jelena · 17. 06. 2013 12:53

↑ kanjoe:

vždy k službám (metodě Ostrogradského :-). Označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2013 16:01

vzorec integrovania

#2 15. 06. 2013 16:43

Re: vzorec integrovania

#3 15. 06. 2013 18:11

Re: vzorec integrovania

#4 15. 06. 2013 18:15

Re: vzorec integrovania

#5 15. 06. 2013 18:45

Re: vzorec integrovania

#6 15. 06. 2013 19:05 — Editoval martisek (15. 06. 2013 19:07)

Re: vzorec integrovania

#7 15. 06. 2013 20:40

Re: vzorec integrovania

kolega martisek napsal(a):

#8 15. 06. 2013 23:24

Re: vzorec integrovania

#9 16. 06. 2013 00:28

Re: vzorec integrovania

#10 16. 06. 2013 10:21

Re: vzorec integrovania

#11 16. 06. 2013 12:27

Re: vzorec integrovania

#12 16. 06. 2013 12:43

Re: vzorec integrovania

#13 16. 06. 2013 19:28

Re: vzorec integrovania

#14 16. 06. 2013 22:41

Re: vzorec integrovania

#15 16. 06. 2013 22:51

Re: vzorec integrovania

#16 16. 06. 2013 23:41

Re: vzorec integrovania

#17 17. 06. 2013 00:39

Re: vzorec integrovania

#18 17. 06. 2013 12:53

Re: vzorec integrovania

Zápatí