Matematické Fórum

james07

Zdravím :)
Májm zadanou fce
$f(x;y) = \sqrt{1-(x^{2}-y)^{2}}$ . A mám zjistit D(f) a nakreslit obrázek.

Podmínku mám:
$1-(x^{2}-y)^{2}\ge 0$

Odmocňuju obě strany (tady si myslím že dělám volovinu)
a dostávám podmínky:
$x^{2}-1\ge y$
$x^{2}+1\ge y$

ale dle Wolphramu mám dostat:
$x^{2}-1\ge y$
$x^{2}+1\le y$

Tak co jsem udělal špatně?
Děkuju za každou radu, zatím mi nebyl schopen nikdo pomoci

PS: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^ … 2B1%3E%3Dy

jelena · 13. 06. 2013 23:35

Zdravím,

myslíš správně :-) Podmínka je dobře: $1-(x^{2}-y)^{2}\ge 0$ , potom ale přepsat do součinového tvaru:
$(1-(x^{2}-y))(1+(x^{2}-y))\ge 0$

a vyřešit 2 možnosti (obě závorky větší nebo rovné 0, nebo obě závorky menší, nebo rovné 0). Když pozorně rozepíšeš, tak jedna z variant je to, co je dle WA, zřejmě jsi při úpravě násobil celou nerovnici $1-x^{2}\ge -y$ (-1), ale nepřeměnil jsi znaménko nerovnosti (větší na menší). Je tak? Děkuji.

james07 · 17. 06. 2013 14:46

No asi ne, jelikož jsem už udělal blbost s tím odmocňováním ..
Alee .. tak nakonec když se to rozepíše dle vzorečku, tak jseou ale dvě možnosti

1) $y\ge x^{2}-1 \wedge y\le x^{2}-1$
2) $y\le x^{2}-1 \wedge y\ge x^{2}-1$
aby byla podmínka splněna..

Ale co teď s tím aby mi obrázek vyšel stejně?

Rumburak · 17. 06. 2013 15:16

↑ james07:
Ahoj.

Onu nerovnici $(1-(x^{2}-y))(1+(x^{2}-y))\ge 0$ od Jeleny (posílám pozdrav :-) jsi nevyřešil dobře
(mimochodem: z Tvého řešení plyne $y= x^{2}-1$ .)

To původní "odmocňování" nemusí být blbost, pokud se provede správně:

$1-(x^{2}-y)^{2}\ge 0$ ,
$1\ge(x^{2}-y)^{2}$ ,
$1 \ge x^{2}-y \ge -1$ ,
$y+1 \ge x^{2} \ge y-1$ ,

odtud už snadno $x^2-1 \le y \le x^2+1$ . Množina určená těmito nerovnicemi je oblast ohraničená parabolami
o rovnicích $y =x^2-1 , y = x^2+1$ (jak jednoduché ... :-)) .