Matematické Fórum

miso16211

Zdravím, tak túto limitu neviem upraviť

$\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}+1}$

polynóm ${x^{3}+1}$ sa dá nejako rozložiť?

Viem, že má vyjsť nula.

Blackflower · 17. 06. 2013 11:51

↑ miso16211: Ahoj, poznáme vzorec: $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Blackflower · 17. 06. 2013 12:11

Napadol mi ešte druhý spôsob, snáď tam nie je nijaký preklep:

miso16211 · 17. 06. 2013 13:04

Hospitalus to vyrieši, nebudem sa trápiť s rozložením. Neviem či je potrebne vedieť rozložit tie polynomy a vedieť tie vzorce.

Blackflower

↑ miso16211: Podľa mňa je celkom praktické pamätäť si niektoré vzorce, ja osobne používam ten na rozklad $(a^3\pm b^3)$ dosť často. Ale máš pravdu, že v tomto príklade je jednoduchšie použiť L'Hospitala.

Rumburak

↑ Blackflower:

Ahoj, připadá mi, že na konci druhého řádku zdola máš chybu (jistě typu "překlep") právě v rozkladu $x^{3}+1$ ,
který měl vyjít $(x + 1)(x^2 - x+1)$ (a ne $(x + 1)(x^2 - 2x+1)$ . )
"I mistr tesař se někdy utne" (české přísloví) :-).

Blackflower · 17. 06. 2013 15:09

↑ Rumburak: Je to dosť možné... tým, že to vyšlo na konci nula, ako píše aj ↑ miso16211:, tak som to nejako neriešila. Vďaka za opravu :)

Hanis · 17. 06. 2013 15:28

↑ miso16211:

Nesouhlasím. L''Hospital není spásný dar, který automaticky používáme na každou limitu. Je třeba ověřit předpoklady, taky pokud se matematikou zaobíráš obšírněji, je třeba vědět, proč funguje.

A vůbec, při limitách funkcí více proměnných ti nepomůže.

L'Hospital je zkrátka velmi silný nástroj, u kterého ale musíš vědět, kdy ho využít - přece taky nebudeš zabíjet hřebík pneumatickým kladivem...

Freedy · 17. 06. 2013 18:27

blackflower, chyba!

bejf · 17. 06. 2013 18:29

↑ Freedy:
V dalším kroku s tím mínusem ale nepočítá, ne? Zřejmě se upsala.

Freedy · 17. 06. 2013 18:30

:D jj... vím, jinak nechápu proč dělala tyhle čáry máry :D vždyť se s tim jen dostala ze začátku na začátek.

miso16211 · 17. 06. 2013 21:18

ja som z toho pometený

pomocou Hospitala viem riešiť
pomocou vzorcov - treba sa niektore naučiť

$\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)^{2}}{(x+1)\cdot (x^{2}-x+1)}=\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{(x^{2}-x+1)}=\frac{-1+1}{3}=0$

↑ Hanis: pomocou nejakej zložitej upravy - treba vedieť? (pripomína mi to úpravu pána Realistického pri delení mnohočlena mnohočlenom)

Hanis · 17. 06. 2013 21:46

↑ miso16211:
Teď nevím na co se ptáš, pokud máme limitu typu $\lim_{x\to a} \frac{P(x)}{Q(x)}=\[\frac00\]$ , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, tak víme, že P(a)=0 a Q(a)=0.
To ale znamená, že
$P(x)=(x-a)\cdot P^*(x)$
a obdobně
$Q(x)=(x-a)\cdot Q^*(x)$ ,
kde P^*, Q^* jsou polynomy stupně o jedna nižší, než P,Q. (Jedna ze základních vět algebry).

Proto $\lim_{x\to a} \frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\cdot P^*(x)}{(x-a)\cdot Q^*(x)}=\lim_{x\to a}\frac{ P^*(x)}{Q^*(x)}$

Důsledek: pokud máš limitu podílu dvou polynomů, a dostáváš neurčitost 0/0, tak vždy můžeš vytknout a zkrátit nulující dvojčlen.

miso16211

↑ Hanis:
napr maš
$\lim_{x\to0}\frac{x^{5}+x^{3}+x}{x^{6}+x^{3}+x^{1}}$
tak stači vytknuť x a dostávam
$\lim_{x\to0}\frac{x\cdot (x^{^{4}}+x^{2}+1)}{x\cdot (x^{5}+x^{2}+1)}$

Rumburak

↑ miso16211:

Ahoj.

Ano, uvedl jsi výborný příklad.

Tímto způsobem se snadno počítají limity $\lim_{x\to a} \frac{P(x)}{Q(x)}$ , jsou-li $P, Q$ polynomy a $a = 0$ .

Případ $a \neq 0$ , pokud na rozklady $P(x)=(x-a)\cdot P^*(x)$ , $Q(x)=(x-a)\cdot Q^*(x)$ nepříjdeme "od oka", řešíme
buďto tak, že polynomy $P, Q$ ve zlomku vydělíme polynomem $x - a$ (a pak se uvidí) nebo substitucí $x-a = y$ převedeme
úlohu na snadnou limitu z podílu polymomů $P_*(y) , Q_*(y)$ pro $y \to 0$ .