Matematické Fórum

OndraVesely

Ahoj. Mám probremy s tímto příkladem, nejsem si jistý zdali to počítám dobře. Zkontrolujte mi prosím můj postup. Děkuju

Vyšetři konvergence případně absolutní konvergenci těchto řad:
$a)\Sigma _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^2}$
$b)\Sigma _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt[n^2]{n}}$
$c)\Sigma _{n=1}^{\infty }\frac{(n!)^2}{2^{n^2}}$
$d)\Sigma _{n=1}^{\infty }\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{n(n-1)}$
_____________________________________________________________________________________________

$a)\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{[2(n+1)-1]^2}}{\frac{1}{(2n-1)^2}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(2n-1)^2}{(2n-1)^2}=1$ ==>> Řada je konvergentní. Mohli byste mi napsat jak ještě vyšetřit zdali je to absolutně konvergentní?

$b)\lim_{n \to \infty }\frac{(-1)^{\frac{n}{n}}}{n^{^{\frac{1}{n^3}}}}=\lim_{n \to \infty }-\frac{1}{\sqrt[n^3]{n}}=1$ ==>> Řada je konvergentní. Zde se opírám o to že $\lim_{n \to \infty }\sqrt[n^3]{n}=1$ .
Mohli byste mi znovu prosím pomoct s tou absolutní konvergencí?

$c)\frac{(n!)^2}{2^{n^2}}=\frac{(n!)^2}{4^n}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{[(n+1!)]^2}{4^{n+1}}}{\frac{(n!)^2}{4^n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)!^2}{4\cdot (n!)^2}=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)^2}{4}=\infty$ ==>> Řada je divergentní, zde se absolutní divergence neurčuje že ano?

$d)$ S tímto jsem si moc rady nevěděl. Zkusil jsem odmocninové kriterium viz dole ale k výsledku jsem se nedostal:
$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{n(n-1)}}=\lim_{n \to \infty }\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{(n-1)}=\lim_{n \to \infty }\left[ \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^n - \left( \frac{n-1}{n+1} \right) \right]$

Hertas · 17. 06. 2013 22:42

absolutni konvergence: pokud $\sum_{}^{}|a_{n}| konverguje \Rightarrow \sum_{}^{}a_{n}konverguje$ takze a) ti konverguje absolutne,
v cecku mas chybu, pokud to mas dobre napsany tak ve jmenvateli je 2^(n^2) tak nemuzes napsat ze se to rovna 4^n,
v becku mas ze ti jmenovatel de k jednicce, takze nemas splnenou nutnou podminku konvergence

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2013 18:50 — Editoval OndraVesely (17. 06. 2013 18:51)

Vyšetření konvergence případně absolutní konvergence

#2 17. 06. 2013 22:42

Re: Vyšetření konvergence případně absolutní konvergence

Zápatí