Matematické Fórum

ruamaixanh · 08. 01. 2009 20:19

Každá ze dvou bank A a B bude mít po následující dva roky stálou roční úrokovou míru. Kdybychom uložili 5/6 našich úspor u banky A a zbytek u banky B, vzrostly by naše úspory po jednom roce na 67 000 Kč a po dvou letech na 74 900 Kč. Kdybychom však uložili 5/6 našich úspor u banky B a zbytek u banky A, vzrostly by naše úspory po jednom roce na 71 000 Kč. Na jakou částku by se v takovém případě naše úspory zvýšily po dvou letech?
nevím jak to můžeme vyřešit, pomozte mi někdo prosím.

ruamaixanh · 08. 01. 2009 21:08

to je jedna z úloh v MO z roku 2002. Vypočítal jsem jen kolik dostanem za rok kdybychom uložili všechny do banky A nebo B, a už nevím jak dál

Chrpa · 12. 01. 2009 19:47 — Editoval Chrpa (12. 01. 2009 19:53)

↑ ruamaixanh:
Označme:
x - počáteční vklad v obou bankách(A,B)
a - roční úrok v bance A
b - roční úrok v bance B
y - celkové úspory v bankách vdruhém případě (máme určit)
Ze zadání lze sestavit rovnice:
1) $\frac{5x}{6}(a+1)+\frac x6(b+1)=67000$
2) $\frac{5x}{6}(a+1)^2+\frac x6(b+1)^2=74900$
3) $\frac x6(a+1)+\frac{5x}{6}(b+1)=71000$
Odečteme rovnici 1) od rovnice 3) a dostaneme:
4) $-\frac{4x}{6}(a+1)+\frac{4x}{6}(b+1)=4000\nl\frac x6(b+1-a-1)=1000\nlx(b-a)=6000\nlx=\frac{6000}{b-a}$
Rovnici 4) dosadíme do 1) a dostaneme:
5) $\frac{5\cdot 6000}{6(b-a)}\cdot (a+1)+\frac{6000}{6(b-a)}\cdot (b+1)=67000\nl11b-12a=1\nla=\frac{11b-1}{12}$
Upravíme rovnici 2)
$\frac{5x}{6}(a^2+2a+1)+\frac{x}{6}(b^2+2b+1)=74900$
dosadíme rovnici 4)
6) $\frac{5\cdot 6000}{6(b-a)}(a^2+2a+1)+\frac{6000}{6(b-a)}(b^2+2b+1)=74900$ = úpravou:
6) $50a^2+10b^2-729b+849a+60=0$
Do rovnice 6) dosadíme rovnici 5) a dostaneme:
$\frac{50(121b^2-22b+1)}{144}+10b^2-729b+\frac{849(11b-1)}{12}+60=0$ - úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici:
$535b^2+428b-107=0\nlb_1=0,2\nlb_2=-1$
Za b dosadíme do rovnice 5) a vypočítáme a.
$a=\frac{11b-1}{12}=\frac{2,2-1}{12}=0,1$
Hodnoty a,b dosadíme do rovnice 4) a dopočteme x
$x=\frac{6000}{b-a}=\frac{6000}{0,2-0,1}=60000$
Máme tedy vypočítané hodnoty x, a, b a můžeme určit y
$y=\frac{x}{6}(a+1)^2+\frac{5x}{6}(b+1)^2$ - pokud do této rovnice dosadíme hodnoty x, a, b pak
$y=84100$