Matematické Fórum

darius23 · 17. 06. 2013 19:17

Zdravím, potřeboval bych poradit ohledně získání mezí z daných oblastí, konkrétně mez $\varrho$ pro převod do polárních souřadnic. příklad je zadaný těmito oblastmi $\Omega : x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2z , 3x^{2}+3y^{2}\le z^{2}$ (průnik elipsoid, kužel)
pro ověření mez $0\le \varphi \le 2\pi$
mez $\frac{1}{2}\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})\le z\le \sqrt{3x^{2}+3y^{2}}$ dále úprava do polárních
děkuji

jelena · 18. 06. 2013 00:11

Zdravím,

1. omezení je koule (po úpravě) $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z+1\le 1$ máme $x^{2}+y^{2}+(z-1)^2\le 1$ (koule se středem v 0,0,1 a poloměrem r=1. Druhé souhlasím - kužely.
Potřebujeme najít průsečík: řešíme soustavu:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z\\ 3x^{2}+3y^{2}=z^{2}$

$4z^2-6z=0$ , odsud jsou hodnoty z (rovin průsečíků). Tedy obrázek by odpovídal "zmrzlinová kulatá kupole nad kuželovým kornoutem" - tak?. Zkus se na to tak podívat a pozměnit Tvůj závěr (z nemůže být zároveň omezeno z^2 např.]

darius23 napsal(a):
$\frac{1}{2}\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})\le z\le \sqrt{3x^{2}+3y^{2}}$

Potom se ještě jednou podívat na transformaci, ať se podaří.

darius23 · 18. 06. 2013 08:37

↑ jelena: $4z^2-6z=0$ z toho $z_{1}=0 z_{2}=\frac{3}{2}$ a když chci mez x (poloměr kružnice v te výšce $z_{2}=\frac{3}{2}$ mohu dosadit do jedne z rovnic soustavy? Vyšlo mi to $x(r)=\sqrt{\frac{3}{4}}$
mez $0\le \varrho \le \sqrt{\frac{3}{4}}$
děkuji

jelena · 18. 06. 2013 13:23

↑ darius23:

ano, dosadila bych do 2. rovnice, potom je $x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{4}$ , což je kruh s poloměrem $r=\sqrt{\frac{3}{4}}$ (takový zápis by se mi asi líbil více, než $x(r)=\sqrt{\frac{3}{4}}$ i když vyjadřuje zřejmě totéž). To souhlasím: $0\le \varrho \le \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Některému kolegovi jsem dávala tento odkaz, kde je dobře vidět postup, obrázky a převody souřadnic (věřím, že i zde nebude vadit ruština).

darius23 · 18. 06. 2013 16:35

↑ jelena:ještě mi vrtá hlavou ta mez pro z. tohle by mělo být správně $\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}\le z\le......$
úprava do polárních $\sqrt{3}\cdot \varrho \le z\le \ldots$
potřeboval bych prosím poradit jak nadefinovat ten ''kopeček'', když se tam nemá objevit znovu to z^2
děkuji

jelena · 18. 06. 2013 21:24

↑ darius23:
Z tohoto zápisu:
$x^{2}+y^{2}+(z-1)^2\le 1$
$(z-1)^2\le 1-(x^{2}+y^{2})$

teď obě strany odmocnit a dovyjádřit z. V pořádku?

darius23 · 19. 06. 2013 05:26

↑ jelena: ano už je mi vše jasné
děkuji

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2013 19:17

Trojný integrál-objem

#2 18. 06. 2013 00:11

Re: Trojný integrál-objem

darius23 napsal(a):

#3 18. 06. 2013 08:37

Re: Trojný integrál-objem

#4 18. 06. 2013 13:23

Re: Trojný integrál-objem

#5 18. 06. 2013 16:35

Re: Trojný integrál-objem

#6 18. 06. 2013 21:24

Re: Trojný integrál-objem

#7 19. 06. 2013 05:26

Re: Trojný integrál-objem

Zápatí