Matematické Fórum

Lucano · 18. 06. 2013 16:04

Ahoj, mám příklad:

určete bázi a zdali vektor ... patří do té báze.

hodnoty (0,1,-1)T , (-1,2,1)T, (2,-2,-4)T a (2, -1,-5)T a vektor (1,2,3)T

chápu správně, že matice bude ve tvaru:

0 -1 2 2
1 2 -2 -1
-1 1 -4 -5

?

následně ji musím převést na inverzní, tím, že ji položím k jednotkové matici 4x4 a následne vynásobím vektorem?

Co ale když mám v tom zadání matici, kterí je 4x3? :(

Rumburak · 18. 06. 2013 16:40

Ahoj. Pokud se má určit báze lineárního obalu W vektorů (0,1,-1)T , (-1,2,1)T, (2,-2,-4)T, (2, -1,-5)T ,
pak technicky postupujeme tak, že z těchto vektorů sestavíme matici

(0, 1, -1)
(-1, 2, 1)
(2, -2, -4)
(2, -1, -5) ,

v níž dané vektory figurují jako řádky, s nimiž provedeme Gaussovu eliminační metodu.
Nenulové řadky, které po GEM zbydou, zpětně zapíšeme jako jako sloupce a dostaneme tak bázi B prostoru W.
(Ekvivalentně bychom mohli z vektorů udělat sloupce matice, ale pak by se GEM musela provádět se sloupci,
což není příliš běžné a mohlo by se to někomu poplést).

Vektor (1,2,3)T by nemohl být prvkem této (ani jiné) báze prostoru W, pokud by vůbec nebyl prvkem prostoru W.
Je-li prvkem prostoru W, pak může být prvkem báze B nebo nemusí podle toho, jak byla volena posloupnost kroků při GEM.

Domnívám se, že úloha spíše požaduje ověřit, zda (1,2,3)T patří do W.

martisek · 18. 06. 2013 16:47

↑ Lucano:

Ahoj,

zadání není příliš jasné. Máš určit bázi bez ohledu na to, které vektory jsou zadány? Pak je to jasné - (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1). Anebo máš vybrat bázi z toho, co je zadáno? Pokud to druhé, pak je řešení víc. Vzal bych první tři vektory, sestavil matici

0 1 -1
-1 2 1
2 2 -4

(proč je všechno transponováno, netuším - věc se tím jenom komplikuje) a zjistil bych hodnost. Pravděpodobně bude tři => tyto vektory tvoří bázi, ostatní dva do ní nepatří. To ale můžeš zjistit s větším počtem trojic, tj. zjistit víc bází, do kterých postupně patří a nepatří jiné vektory...

Lucano · 18. 06. 2013 16:59

ahoj, no, tohle je trochu prusvih, protoze sam nevim jak to ma presne byt. pripravuju se na ZK a tohle jsou utrzkovite informace z minulych terminu, tak to zkousim, nicmene si myslim, ze to bude tak jak pise Rumburak - mrknu na to... kdyz uz jsem zalozil to tema, mam tu dalsi dva priklady, mohl bych poprosit jen o teoreticky postup?

martisek · 18. 06. 2013 17:16

↑ Lucano:

První příklad: u=(1,1,0)^T, u'=(1,1,0)^T, další dvojice v,v', w, w'. Pro matici zobrazení - označme třeba M - musí platit:

u'=Mu
v'=Mv
w'=Mw

získá se soustava rovnic pro devět prvků matice M, která by měla být relativně snadno řeštitelná.

Druhý příklad: jak píše ↑ Rumburak: - sestavit matici, jejíž řádky tvoří zadané vektory, pomocí GEM určit hodnost - to je dimenze. Nenulové řádky tvoří bázi.

Lucano · 18. 06. 2013 20:18

ahoj, k tomu obrazku, příklad číslo 2 /matice lineárního zobrazení/

bude to takhle?

1 1 0 1 1 0
1 0 1 = 0 1 -1
0 1 1 1 0 5

?

jen mi nejak unika co ted s tim? potrebuju se dostat na tu matici M, kde přes determinant? určím vlastní čísla a vlastní vektory...

nebo mi něco uniká, že mi už asi po dnešku hrabe... :(

Rumburak

↑ Lucano:

Takhle to nebude. Máš najít matici F takovou, aby platilo F*X = Y , kde X představuje matici

1 1 0
1 0 1
0 1 1

a Y matici

1 0 1
1 1 0
0 -1 5

(dané vektory odpovídají sloupcům). Dá se to převést na soustavu 9-ti lin. rovnic o 9-ti neznámých, jimiž budou prvky matice F.

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2013 16:04

Patří vektor do báze?

#2 18. 06. 2013 16:40

Re: Patří vektor do báze?

#3 18. 06. 2013 16:47

Re: Patří vektor do báze?

#4 18. 06. 2013 16:59

Re: Patří vektor do báze?

#5 18. 06. 2013 17:16

Re: Patří vektor do báze?

#6 18. 06. 2013 20:18

Re: Patří vektor do báze?

#7 19. 06. 2013 11:45 — Editoval Rumburak (19. 06. 2013 11:47)

Re: Patří vektor do báze?

Zápatí