Matematické Fórum

misa · 12. 01. 2009 20:03

Prosím mohl by me nekdo postrcit...nevim vubec jak do toho
1.)x^2+2x.sin xy+1=0
a za druhé sice na první pohled vidím hned tri reseni,ovsem nevim jak k nim dojit..
2.)x+y+z=3
x^3+y^3+z^3=27

predem moc dekuju za jakykoliv postreh!

Kondr · 12. 01. 2009 21:11

První rovnici upravíme do tvaru
$x^2+2x\sin(xy)+sin^2(xy)+cos^2(xy)=0$ (použili jsme tzv. goniometrickou jedničku), dále upravíme
$(x+\sin(xy))^2+cos^2(xy)=0$
Aby byl součet dvou druhých mocnin roven 0, musí být oba umocňované výrazy rovny 0.
Máme tedy $cos(xy)=0$ , $xy=-\pi/2+k\pi$ , $sin(xy)=(-1)^k$ , z nulovosti první závorky
$x=-sin(xy)=-(-1)^k$ , dopočteme $y=-(-1)^k(k\pi-\pi/2)$

Ve druhém příkladě snadno zjistíme, že pokud mají být x,y,z kladná, jsou řešení pouze 3. Pro obecná x,y,z může být řešení nekonečně mnoho (např. ve tvaru (3,t,-t))... nechybí v zadání předpoklad x,y,z>0?

misa · 12. 01. 2009 21:57

moc dekuju,s tim prvnim bych tedy nehla.. U druheho zadne omezeni neni. Diky!

Kondr · 12. 01. 2009 22:36 — Editoval Kondr (12. 01. 2009 22:38)

(1) x+y=3-z
x^3+y^3=27-z^3, použijeme vzorec pro rozdíl krychlí
(x+y)(x^2-xy+y^2)=(3-z)(z^2+3z+9), dosazením z první rovnice
(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(z^2+3z+9)
Pokud x+y=0, máme řešení tvaru (t,-t,3).
Pokud ne, můžeme závorkou x+y vydělit
x^2-xy+y^2=z^2+3z+9. Rovnici (1) umocníme na druhou
x^2+2xy+y^2=z^2-6z+9 poslední dvě rovnice odečteme a výsledek vydělíme 3
xy=-3z
Dle Vietových vztahů jsou x,y kořeny polynomu
t^2+(z-3)t-3z=0, po úpravě
(t+z)(t-3)=0.
Jedno z čísel x,y je tedy rovno 3 a zbylé -z.

Všechna řešení jsou tvaru (3,t,-t),(t,3,-t) nebo (t,-t,3).

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2009 20:03

rovnice

#2 12. 01. 2009 21:11

Re: rovnice

#3 12. 01. 2009 21:57

Re: rovnice

#4 12. 01. 2009 22:36 — Editoval Kondr (12. 01. 2009 22:38)

Re: rovnice

Zápatí